java数据结构与算法刷题-----LeetCode279. 完全平方数

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动态规划

解题思路：时间复杂度O($n\ast \sqrt{n}$)，空间复杂度O($n$)

1. DP数组及下标含义

1. 我们要求出的是从1到n，每个数字所需的最少完全平方数。显然dp数组中存储的就是当前下标i的最少所需完全平方数。要求出谁的？显然是求出i的。那么下标就是代表求谁的，很显然，只需要一个下标，也就是一维数组。

2. 递推公式

1. 假设我们求出了4的最少所需完全平方数为1，也就是4本身为一个完全平方数。则dp[4]=1
2. 此时我们要求8的最少所需完全平方数，我们可以选择的完全平方数有1和4，因为下一个完全平方数是9，9>8了，显然9往后的完全平方数都不满足条件。
3. 显然我们不能选择1作为8需要的平方数的其中之一，因为它太小了，我们要让数量尽可能少
4. 则我们选择4，选择一个4之后，8 - 4 = 4.也就是我们还剩下4需要找完全平方数。此时我们访问dp[4] = 1，发现4这个数字最少需要1个完全平方数。
5. 因此8这个数，当我们第一个数选择4时，剩下的就直接访问dp[8 - 4] = dp[4] = 1即可。也就是一共需要2个完全平方数。dp[8] = 2.
6. 综上所述，递推公式为dp[i] = min(dp[i - $j^2$])+1, 其中j的取值范围为[1,$\sqrt{j}$]

$j^2$是完全平方数，$i-j^2$表示第一个数选择$j^2$,通过dp[$i-j^2$]获取减去第一个数字后，剩余的数所需最少完全平方数
min(dp[i - $j^2$])的含义就是，不断尝试不同的完全平方数作为第一个，并获取剩余数字所需最少完全平方数，找到所需数字最少的一个方案。
当剩余数字$i-j^2$最少方案找到后，+1即可，因为我们前面减去了$j^2$,现在需要将$j^2$这个数字算上一个

3. dp数组初始化

4. 数组遍历顺序(单重循环，无需考虑遍历顺序，一共就一维，哪里来的谁先谁后)
5. 打印dp数组（自己生成dp数组后，将dp数组输出看看，是否和自己预想的一样。）

代码

class Solution {
    public int numSquares(int n) {
        int[] f = new int[n + 1];//dp数组，代表和为i的完全平方数最少数量。下标i表示求谁的所需完全平方数最少数量
        for (int i = 1; i <= n; i++) {//1到n开始规划每个数字的完全平方数最少数量
            int minn = Integer.MAX_VALUE;
            for (int j = 1; j * j <= i; j++) {//j表示完全平方数，从1开始，1,4,9,16....，但是不能>i
                //是否选择当前完全平方数。如果选择当前完全平方数，则i - 当前完全平方数，看看剩余数字的所需完全平方数数量
                //如果选择当前完全平方数所需数量更少（更优），就令minn = f[i - j*j],否则不选择当前数。minn不变
                minn = Math.min(minn, f[i - j * j]);
            }
            f[i] = minn + 1;//当前数字所需的最少完全平方数数量。
        }
        return f[n];//返回n的最少所需完全平方数数量
    }
}

四平方和定理

1. 四平方和定理：任意正整数x，可被最多4个正整数的平方和（完全平方数）表示。
2. 结论一：当$n=4^k\ast (8\ast m+7)$时，n只能被4个正整数的平方和表示。

这是一个判断条件，k和m表示随便一个数，只要n能满足即可。可以说只要$n满足4^k\ast (8\ast m+7)$这样的条件，n就只能被4个正整数平方和表示

3. 结论二：当前仅当$n\ne 4^k\ast (8\ast m+7)$时，n才可以被3个及以下（至多3个）正整数平方和表示

解题思路：时间复杂度O($\sqrt{n}$)，空间复杂度O($1$)

1. 当$n=4^k\ast (8\ast m+7)$时，直接返回4，因为满足这个条件的正整数只能被4个完全平方数表示
2. 当$n\ne 4^k\ast (8\ast m+7)$时，则需要额外处理，因为它表示n可能被1个或2个或3个完全平方数表示。

1. 若当前n正好是完全平方数，则答案为1，也就是它本身表示自己
2. 若n不是完全平方数，枚举两个完全平方数，查看是否可以组成n，也就是$n=a^2+b^2$.枚举需要时间复杂度为O($\sqrt{n}$)

因为需要枚举一个完全平方数a，a属于[1,$\sqrt{n}$], 并判断$n-a^2$是否是完全平方数

3. 以上两个条件都不满足，则需要3个完全平方数表示，返回3即可

代码

class Solution {
    // 判断是否为完全平方数，如果是完全平方数，则只需1个完全平方数（它本身）即可表示
    public boolean isPerfectSquare(int x) {
        int y = (int) Math.sqrt(x);
        return y * y == x;
    }
    // 判断是否能表示为 4^k*(8m+7)
    public boolean checkAnswer4(int x) {
        while (x % 4 == 0) x /= 4;//不断除以4，相当于不断进行4^(k-1)操作，直到k归0
        //此时剩余(8m+7),我们取余8，则剩下的数字为不可以被8取余的数
        //如果剩下的数字正好是7，这返回true，否则返回false
        return x % 8 == 7;
    }
    public int numSquares(int n) {
        if (isPerfectSquare(n)) return 1;//如果n是完全平方数，返回1
        if (checkAnswer4(n)) return 4;//满足n = 4^k * (8*m + 7)，则只能由4个完全平方数表示
        //不满足n = 4^k * (8*m + 7)，并且n本身不是完全平方数，则只能由2个或者3个完全平方数表示
        //先试图用2个完全平方数表示n，如果成功，返回2
        for (int i = 1; i * i <= n; i++) {
            //选择i*i作为当前完全平方数的其中之一，
            int j = n - i * i;//则减去这个完全平方数，剩下的数字为n - i * i
            if (isPerfectSquare(j)) return 2;//如果剩下的数字也是完全平方数，则可以由2个数字表示
        }
        //无法用2个完全平方数表示，返回3
        return 3;
    }

    

    
}