java数据结构与算法刷题-----LeetCode213. 打家劫舍 II

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很多人觉得动态规划很难，但它就是固定套路而已。其实动态规划只不过是将多余的步骤，提前放到dp数组中（就是一个数组，只不过大家都叫它dp），达到空间换时间的效果。它仅仅只是一种优化思路，因此它目前的境地和线性代数一样----虚假的难。

1. 想想线性代数，在国外留学的学生大多数不觉得线性代数难理解。但是中国的学生学习线性代数时，完全摸不着头脑，一上来就是行列式和矩阵，根本不知道这玩意是干嘛的。
2. 线性代数从根本上是在空间上研究向量，抽象上研究线性关系的学科。人家国外的教科书都是第一讲就帮助大家理解研究向量和线性关系。
3. 反观国内的教材，直接把行列式搞到第一章。搞的国内的学生在学习线性代数的时候，只会觉得一知半解，觉得麻烦，完全不知道这玩意学来干什么。当苦尽甘来终于理解线性代数时干什么的时候，发现人家国外的教材第一节就把这玩意讲清楚了。你只会大骂我们国内这些教材，什么狗东西（以上是自己学完线性代数后的吐槽，我们同学无一例外都这么觉得）。

而我想告诉你，动态规划和线性代数一样，我学完了才知道，它不过就是研究空间换时间，提前将固定的重复操作规划到dp数组中，而不用暴力求解，从而让效率极大提升。

1. 但是网上教动态规划的兄弟们，你直接给一个动态方程是怎么回事？和线性代数，一上来就教行列式和矩阵一样，纯属恶心人。我差不多做了30多道动态规划题目，才理解，动态方程只是一个步骤而已，而这已经浪费我很长时间了，我每道题都一知半解不理解，过程及其痛苦。最后只能重新做。
2. 动态规划，一定是优先考虑重复操作与dp数组之间的关系，搞清楚后，再提出动态方程。而你们前面步骤省略了不讲，一上来给个方程，不是纯属扯淡吗？
3. 我推荐研究动态规划题目，按5个步骤，从上到下依次来分析

1. DP数组及下标含义
2. 递推公式
3. dp数组初始化
4. 数组遍历顺序（双重循环及以上时，才考虑）
5. dp数组打印，分析思路是否正确（相当于做完题，检查一下）

这道题是198题的衍生题，在198题的基础上，增加了一个条件，就是第一个房子和最后一栋房子是挨着的。如果偷了第一个房子，那么最后一个房子就不能偷。除此之外没有任何不同

可以先参考🏆LeetCode198. 打家劫舍https://blog.youkuaiyun.com/grd_java/article/details/135401880

先理解题目细节

想象这样一个场景，我们是小偷，从第一栋挨个考虑偷还是不偷（注意：不考虑后面的，只考虑当前这栋和之前的），如果偷，那就是身上已经偷了多少+这一栋能偷多少。如果不偷，那就是身上已经偷了多少就是还是多少。但是相邻的不能同时偷，主要是第一栋如果偷了，最后一栋就不能偷。

1. 题目给我们的数组代表每个房子有多少钱，而且相邻的房子不能都偷，只能偷不相邻的。而且首尾相邻，若要偷第一栋，则最后一栋不能偷，不偷第一栋则最后一栋可以偷
2. 例如2,3,2 这个序列，显然不触发警报的前提下（不偷相邻的）----偷第二个为能偷到的最多的钱。不可以偷第一栋和第3栋=4元，因为首尾相邻
3. 怎么偷才能偷到最多呢？当然是保证最大获利情况下，能偷的都偷了，而且不能触发警报。
4. 我们每个房子都单独考虑，偷还是不偷，而且只需考虑它前面的房子，因为我们要能偷的都偷

1. 若要偷当前房子：那么，前面相邻的不能考虑，只能考虑再前面一个，也就是当前房子的金额，加上除了前面一个相邻的房子外，已经偷了多少。
2. 若不偷当前房子：那么，前面偷了多少，到这个房子就还有多少，金额不变

解题思路

1. 暴力求解的思想，就是回溯算法，枚举每一种情况，拿到最大值，显然会做大量无效运算。
2. 但是如果我们预先将其存储到dp数组，就可以直接通过dp[x], 获取dp数组中指定位置x的体力花费，而不用枚举。典型的动态规划题目

动态规划思考5步曲

1. DP数组及下标含义

我们要求出的是到了某个房子后最大情况下偷了多少钱，那么dp数组中存储的就是最大情况下偷了多少钱。要求出谁的最大情况下偷了多少。显然是到达某个房子后，那么下标就是代表现在到了哪个房子，也就是代表到了某一栋房子后的最大已偷取的金额。显然，只需要一个下标即可表示，故这道题的dp数组只需要一维数组

2. 递推公式

1. 由题意可知，每个房子都可以选择偷与不偷，选择最大值。而我们选择要偷的第一个房子肯定要偷它，才能获得最大值。而第二个房子，因为它前面没有不相邻的房子，所以它要么不偷，也就是只偷第一个房子。要么选择偷第二个房子，而第一个房子不偷，然后选择最大情况。

故：第一个房子固定为F(start) = 第一个房子金额。第二个固定为F(start+1) = max(第一个房子金额，第二个房子金额)

请注意：上面说的第一个房子，是相对于小偷来说，他偷的第一个房子。例如整个街区中，我们不偷第一栋，那么就从第二栋开始偷。对于小偷来说，这第二栋就是他偷的第一个房子，记为start.

2. 之后每一栋，都需要判断它偷还是不偷，以及前面不相邻的房子。如果偷，就要考虑前面不相邻的+自己这栋能偷多少钱。不偷，那么前一栋相邻的它肯定考虑一下。而前面的房子怎么考虑的是前面房子的事，它们也考虑过了偷还是不偷。我们只考虑当前这栋是偷，还是不偷
3. 因此，可以得到，从第三栋开始（相对于小偷来说），递推公式为偷或者不偷，选择最大值： F(n) = max( F(n-2)+nums[n] , F(n-1) )

3. dp数组初始化

4. 数组遍历顺序（因为这个数列是一维的，只需要一重循环，无需考虑这个）
5. 打印dp数组（自己生成dp数组后，将dp数组输出看看，是否和自己预想的一样。）

代码:时间复杂度O(n).空间复杂度O(n)

class Solution {
    public int rob(int[] nums) {
        int length = nums.length;//房子的数量
        if(length == 1) return nums[0];//如果只有一栋，那么肯定偷它，返回即可
        else if (length == 2) return Math.max(nums[0],nums[1]);//如果只有两栋，那么相邻的不能偷，只能选一栋钱多的
        //如果房子很多，那么分为两种情况①：第一栋要偷，最后一栋不能偷。②：第一栋不偷，最后一栋可以偷
        return Math.max(robRange(nums,0,length-2), robRange(nums,1,length-1));
    }
    public int robRange(int[] nums, int start, int end){
        /**进入小偷视角，他第一个偷的房子start，为他眼里的第一栋。 而实际在街区可能是第一栋，也可能是第二栋**/
        int dp[] = new int [nums.length];//dp数组
        dp[start] = nums[start];//只考虑第一栋的情况下，第一栋只有偷了，才是最好的选择
        dp[start+1] = Math.max(nums[start],nums[start+1]);//只考虑前两栋的情况下，可以选择偷第一栋，或者偷第二栋
        //剩下的都需要考虑①：偷还是不偷，②：如果偷=前面不相邻的已经偷了多少+当前这栋有多少。③：如果不偷，那么前面已经偷了多少，就是多少
        for(int i = start+2; i<= end;i++){
            dp[i] = Math.max(dp[i-1],dp[i-2]+nums[i]);
        }
        return dp[end];
    }
}

学有余力的同学可以尝试这个方法，将空间复杂度变为常数级-----------------代码:时间复杂度O(n).空间复杂度O(1)

将dp数组优化掉，换成3个变量，滚动执行。将dp[0]换成first。dp[1]换成second. 也就是first永远指向当前栋的前面不相邻的，second永远指向前面相邻的。

class Solution {
    public int rob(int[] nums) {
        int length = nums.length;//房子的数量
        if(length == 1) return nums[0];//如果只有一栋，那么肯定偷它，返回即可
        else if (length == 2) return Math.max(nums[0],nums[1]);//如果只有两栋，那么相邻的不能偷，只能选一栋钱多的
        //如果房子很多，那么分为两种情况①：第一栋要偷，最后一栋不能偷。②：第一栋不偷，最后一栋可以偷
        return Math.max(robRange(nums,0,length-2), robRange(nums,1,length-1));
    }
    public int robRange(int[] nums, int start, int end){
        /**进入小偷视角，他第一个偷的房子start，为他眼里的第一栋。 而实际在街区可能是第一栋，也可能是第二栋**/
        int dp[] = new int [nums.length];//dp数组
        int first = nums[start];//只考虑第一栋的情况下，第一栋只有偷了，才是最好的选择
        int second = Math.max(nums[start],nums[start+1]);//只考虑前两栋的情况下，可以选择偷第一栋，或者偷第二栋
        //剩下的都需要考虑①：偷还是不偷，②：如果偷=前面不相邻的已经偷了多少+当前这栋有多少。③：如果不偷，那么前面已经偷了多少，就是多少
        for(int i = start+2; i<= end;i++){
            int temp = second;
            second = Math.max(first+nums[i],second);
            first = temp;
        }
        return second;
    }
}