2、低秘密指数RSA攻击方法的新探索

低秘密指数RSA攻击方法的新探索

在RSA加密算法中，低秘密指数的情况一直是密码分析领域的研究热点。本文将介绍针对低秘密指数RSA的攻击方法，包括Boneh - Durfee格攻击以及一种新的改进方法。

1. 研究背景与现状

在密码分析领域，Coppersmith方法的应用通常被认为是有效的，但已有研究指出，在某些情况下该启发式方法可能会失效，不过在实际应用中尚未有普遍失效的报告。对于Boneh和Durfee提出的针对$d < N^{1/4}$的方法，虽然目前还无法进行严格分析，但后续的研究将给出一些结果来解释实验中观察到的现象。并且，新的针对短秘密密钥$d$的RSA攻击实验结果显示，该方法在$d \leq N^{0.278}$的情况下进行了密码分析，且比Boneh和Durfee的方法更快。

2. Boneh - Durfee格攻击

Boneh和Durfee提出的针对低指数RSA的格攻击方法，是基于对RSA等式$ed = 1 \mod \varphi(N)$的分析。已知该等式等价于$ed + k(\frac{N + 1}{2} + s) = 1$，其中$k \in Z$，$s = \frac{-p + q}{2}$和$d$是未知量。由于$e < \frac{\varphi(N)}{2}$，可得$k < d$。Boneh和Durfee对该等式取模$e$，即$k(\frac{N + 1}{2} + s) - 1 = 0 \mod e$，并定义多项式$f(x, y) = x(A + y) - 1$，其中$A = \frac{N + 1}{2}$，$X = e^{\delta}$，$Y = e^{0.5}$。

为了将模方程转化