RSA与DSA数字签名计算实例

1、萨曼莎使用RSA签名方案，素数p = 541，q = 1223，公开验证指数e = 159853。(a) 萨曼莎的公开模数是多少？她的私有签名密钥是什么？(b) 萨曼莎对数字文档D = 630579进行签名。签名是什么？

(a) 公开模数 $ N = p \times q = 541 \times 1223 = 661643 $。

先计算：

$$
(p - 1)(q - 1) = (541 - 1) \times (1223 - 1) = 540 \times 1222 = 659880
$$

再求解同余方程：

$$
ed \equiv 1 \ (\text{mod} \ (p - 1)(q - 1))
$$

即：

$$
159853d \equiv 1 \ (\text{mod} \ 659880)
$$

可使用扩展欧几里得算法求解该同余方程。

设：

$$
159853x + 659880y = 1
$$

通过扩展欧几里得算法：

$$
\begin{align }
659880 &= 4 \times 159853 + 10468 \
159853 &= 15 \times 10468 + 2833 \
10468 &= 3 \times 2833 + 1969 \
2833 &= 1 \times 1969 + 864 \
1969 &= 2 \times 864 + 241 \
864 &= 3 \times 241 + 141 \
241 &= 1 \times 141 + 100 \
141 &= 1 \times 100 + 41 \
100 &= 2 \times 41 + 18 \
41 &= 2 \times 18 + 5