50、超属性程序修复的复杂度分析

超属性程序修复的复杂度分析

在程序验证和修复领域，超属性（Hyperproperties）的研究是一个重要的方向。超属性是对程序多个执行轨迹之间关系的描述，HyperLTL 是一种用于表达超属性的时态逻辑。本文将深入探讨使用 HyperLTL 表达的超属性修复问题的复杂度。

量词交替公式的复杂度

当考虑量词交替次数受常数 k 限制的公式时，框架结构从树变为无环图会导致复杂度显著增加。

公式类型	结构类型	复杂度
PR[(EA)k - HyperLTL, acyclic]（k ≥ 2）	无环 Kripke 结构	Σp k - 完全
PR[(AE)k - HyperLTL, acyclic]（k ≥ 1）	无环 Kripke 结构	Σp k + 1 - 完全

下面是对定理 7 的证明思路：
- 上界证明 ：
- 假设第一个量词是存在量词。由于 Kripke 结构是无环的，轨迹长度受状态数量限制。可以在多项式时间内非确定性地猜测修复和存在量词量化的轨迹，然后通过模型检查剩余公式（具有 k - 1 次量词交替且以全称量词开头）来验证猜测的正确性。验证可以在 Πp k - 1 内完成，因