36、高效低精度内核的合成方法与实验评估

高效低精度内核的合成方法与实验评估

1. 成本函数与误差分布

在优化过程中，采用参数化的成本函数，这为不同目标和硬件的优化提供了灵活性。与混合精度调优的全局预算分配类似，评估了基于面积、机器学习和组合的成本函数，发现基于面积和机器学习的成本函数等权重组合的整体性能最佳。

对于示例情况，sin(x1) 的细化循环需要两次迭代，得到最优分布为 ϵ0_fp = 3ϵ0_approx，对应值为 ϵ0_fp = 4.47e−8 和 ϵ0_approx = 1.49e−8。对于 cos(2*x1) 和 sin(x2)，初始的均等分割已经达到最小成本，即对于 i ∈{1, 2}，有 ϵi_fp = ϵi_approx = 2.98e−8。

2. 合成近似多项式

2.1 使用 Metalibm 工具

为了找到每个基本函数的多项式近似，使用 Metalibm 工具。生成近似时，需要指定以下参数：
- 要近似的基本函数 f(x)；
- f(x) 要近似的定义域 x ∈I；
- 分配的局部近似误差预算 ϵi_approx；
- 最大多项式次数。

这里的定义域 I 不是用户指定的输入定义域，而是函数参数 x 的局部输入定义域。应尽可能紧密地计算这个定义域，因为这可能使 Metalibm 使用次数更小的多项式或更少的内部定义域细分。通常，手动确定这些定义域具有挑战性，算法使用区间和仿射算术对范围和有限精度误差进行静态分析，以全自动方式计算此信息。当程序多次包含相同的基本函数调用时，会检查是否已经为给定范围和分配的局部误差预算 ϵi 合成了近似，如果是，则重用已生成的近似。

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