14、格林函数：理论、应用与计算方法

格林函数：理论、应用与计算方法

1. 格林函数与积分方程

格林函数在数学和工程领域有着广泛的应用，其中一个重要的应用是构造具有已知解的积分方程。通过对特定方程的变换和积分操作，我们可以得到积分方程的解。例如，对于方程(\lambda y(\xi) = f(\xi))，将其乘以(g(x|\xi))并从(0)到(L)积分，得到：
[
\int_{0}^{L} f(\xi)g(x|\xi) d\xi = \lambda \int_{0}^{L} y(\xi)g(x|\xi) d\xi
]
进一步变形可得(y(x) - \lambda \int_{0}^{L} y(\xi)g(x|\xi) d\xi = 0)。该积分方程的解为(\lambda_n = n^2\pi^2/L^2)，(y_n(x) = \sin(n\pi x/L))，通过直接代入可以验证这一结果。

2. 常微分方程与格林函数

2.1 二阶常微分方程与传递函数

二阶常微分方程在工程中无处不在，如电气工程中的许多电路和机械工程中应用牛顿第二定律时都会涉及到。以线性微分方程(y’’ + 2y’ + y = f(t))，初始条件(y(0) = y’(0) = 0)为例，通过拉普拉斯变换可得(Y(s) = \frac{1}{(s + 1)^2} F(s))。为了消除对未指定拉普拉斯变换(F(s))的依赖，我们考虑传递函数(G(s) = \frac{Y(s)}{F(s)} = \frac{1}{(s + 1)^2})，它只取决于系统的特性。

2.2 脉冲响应与格林函数

考虑与上述方程相关的问题(g’’ + 2g’ + g =