7、工程数学中的高级变换方法

工程数学中的高级变换方法

1. 复积分相关步骤与结论

在数学分析中，有一系列重要的步骤和结论。首先是关于复积分的推导：
- 步骤 3 ：要证明(\oint_{C} \frac{\cosh(hz) - 1}{z \sinh(hz)} e^{aiz} dz = 2\pi i \sum_{n = 1}^{\infty} \text{Res} \left[ \frac{\cosh(hz) - 1}{z \sinh(hz)} e^{aiz}; \frac{n\pi i}{h} \right])，其中(\text{Res} \left[ \frac{\cosh(hz) - 1}{z \sinh(hz)} e^{aiz}; \frac{n\pi i}{h} \right] = \frac{1 - (-1)^n}{n\pi i} e^{-\frac{n\pi a}{h}})。
- 步骤 4 ：证明(\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cosh(hx) - 1}{x \sinh(hx)} \cos(ax) dx = 4 \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{\exp[-(2m - 1)\frac{\pi a}{h}]}{2m - 1} = \ln[\coth(\frac{\pi a}{h})])。
- 步骤 5 ：当把(a)替换为(-a)时，重新进行分析，并将结果与Bentwich给出的结果进行调和。

2. 用围道积分法求拉普拉斯变换的逆变换

部分分式法和卷积法是求拉普拉斯变换(F(s))逆变换的常用方法，但