2、复变函数：导数、积分与相关性质

复变函数：导数、积分与相关性质

1. 复变函数基础

在复变函数领域，我们首先定义了复变量 (z = x + iy)，其中 (x) 和 (y) 是变量。接着引入另一个复变量 (w = u + iv)，使得对于每一个 (z) 的值，都有一个对应的 (w = f(z)) 的值。我们主要关注单值函数，即对于每个 (z) 只有一个 (w) 值的函数。与之相对的是多值函数，如平方根、对数以及反正弦和反余弦函数，每个 (z) 会有多个答案，但在本文中我们主要处理单值函数。

1.1 复函数的映射表示

一种常用的表示复函数的方法是在 (z) 平面绘制一个封闭区域，然后展示其在 (w) 平面上对应的区域，这个过程称为映射。例如，对于函数 (w = z^2)，(z) 平面上的一个扇形区域会映射到 (w) 平面上的一个半圆区域。

1.2 单值与多值函数示例

• 单值函数示例 ：对于复函数 (w = e^{-z^2})，通过欧拉公式 (w = e^{-z^2} = e^{-(x + iy)^2} = e^{y^2 - x^2}e^{-2ixy} = e^{y^2 - x^2}[\cos(2xy) - i\sin(2xy)])，可得 (u(x, y) = e^{y^2 - x^2}\cos(2xy))，(v(x, y) = -e^{y^2 - x^2}\sin(2xy))。由于对于每个不同的 (z) 值，(u(x, y)) 和 (v(x, y)) 都有唯一值，所以该函数是单值函数。
• 多值函数示例 ：对于 (w = \sqrt{z})，将 (z = re