随机取样和洗牌算法

有一个长度为n的数组，想对其中的元素进行洗牌，使他们能够随机的分布，随机的意思是使每个元素在每个位置上出现的概率都是1/n。

 

如何去做呢，有一个方法如下：

　　依次遍历所有的元素，在遍历到第i个元素的时候，有1/i 的概率和前i个元素（包括第i个）其中之一进行交换，则遍历完所有的元素之后，

得到的新的数组就满足上面提到的随机分布的条件。

 

写成代码如下：

 

template<typename T> void suffle( T* arr, int count ) { for( int i = 1; i < count; i++ ) { int r = rand() % ( i + 1 ); swap( arr[i], arr[r] ); } } 

证明如下：

 

1、当只有1个元素的时候，他的概率是1/1

2、当有2个元素的时候，遍历到第2个元素的时候，有1/2的概率与前2个元素交换，则第1个和第2个元素出现在第1个位置和第2个位置的概率都是1/2

3、k+1个元素的时候，假设遍历完前k个元素，使前k个元素出现在前k个位置的概率都是1/k，则遍历第k+1个元素的时候，有1/(k+1)的概率与所有k+1个元素之一交换，其出现在第k+1个位置的概率是 1 / ( k + 1 )， 其出现在前k个位置的概率是 1 / ( k + 1 )，而前面k个元素中任一个元素被交换到第k+1个位置的概率是 ( 1 - 1 / ( k + 1 ) ) / k = 1 / ( k + 1 )，而其留在前k个位置中的某一个的概率是 ( 1 - ( 1 / ( k + 1 ) ) / k = 1 / ( k + 1 )，故前k个元素在任意位置的概率都是1 / ( k + 1 )

综上所述，对任意的k，只要按照上面所述的方法，即可满足随机分布的条件。

 

一道衍生的问题，

给定一个长度未知的数据流，如果从中随机选取N个数。

 

解决方法：

1、定义一个长度为N的数组，数据流中的前N个数依次放入数组中

2、从第K( K > N )个元素开始，每个元素有N / K的概率替代数组中的任一个元素。

按这个方法进行到最后，则数据流中每个数出现在这个数组中的概率都是 1000 / N，所以这个数组中的1000个数就是解。