有向无环图的一些特性简介

最近觉得有向无环图还是很有趣的：

（1）证明一个有向图是有向无环图方法： 拓扑排序方法

（2）用0-1矩阵（邻接矩阵）A表示一个有向无环图，每个矩阵元素代表一条边是否存在,那么，A^k表示经过两个点之间是否存在k步的路径；

（3） 一个有向无环图的邻接矩阵所有特征值为0

（4） T = A + A² + A³ + … + A^k.

求 T mod t ;

二分求 A^k mod t = (A^k/2mod t) *(A^k/2mod t)
再对求和的过程进行二分:

当k是偶数 T=A + A² + A³ + … + A^k/2+A^k/2*（A + A² + A³ + … + A^k/2）

当k是奇数： T=A + A² + A³ + … + A^k/2+1+A^k/2+1*（A + A² + A³ + … + A^k/2）

（5）Eric W. Weisstein 发现： n*n 阶0-1矩阵的特征值是正实数时，矩阵总数的序列和包含n个标记顶点的有向无环图的个数序列相等：

1,3,35,543,29281......