有向无环图的一些特性简介

最近觉得有向无环图还是很有趣的:

(1)证明一个有向图是有向无环图方法: 拓扑排序方法

(2)用0-1矩阵(邻接矩阵)A表示一个有向无环图,每个矩阵元素代表一条边是否存在,那么,A^k表示经过两个点之间是否存在k步的路径;

(3) 一个有向无环图的邻接矩阵所有特征值为0

(4) T = A + A2 + A3 + … + Ak.

求 T mod t ;

二分求 Ak mod t = (Ak/2mod t) *(Ak/2mod t)
再对求和的过程进行二分:

当k是偶数 T=A + A2 + A3 + … + Ak/2+Ak/2*(A + A2 + A3 + … + Ak/2

当k是奇数: T=A + A2 + A3 + … + Ak/2+1+Ak/2+1*(A + A2 + A3 + … + Ak/2


(5)Eric W. Weisstein 发现: n*n 阶0-1矩阵的特征值是正实数时,矩阵总数的序列和包含n个标记顶点的有向无环图的个数序列相等:

1,3,35,543,29281......


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