数论证明题(1)

质数幂在阶乘中的个数

最新推荐文章于 2022-12-26 15:32:18 发布

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本文探讨了如何确定阶乘n!中质数p的幂的最大次数k。通过逐步分解n!中所有p的倍数并计算剩余部分，最终得到了一个简洁的公式来表达这一数量。

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0001

命题：设k为质数p的最大幂，使得 $p^k\left \mid{n!}$ ,设n写成p进制每个位分别是 $n_0,n_1,...n_d$ , $\delta(n)=n_0+n_1+...+n_d$ ,则 $k=(n-\delta(n))/(p-1)$

证明：我们知道，n的阶乘是n个数相乘，其中p的倍数有 $\lfloor n/p\rfloor$ 个，将这些数都提取一个p因子出来，则只剩下 $\lfloor n/p^2\rfloor$ 个数还含有p因子，以此类推，可得

$k=\lfloor n/p\rfloor+\lfloor n/p^2\rfloor+\lfloor n/p^3\rfloor+...$

然后 $n_0=n-p\lfloor n/p\rfloor=\delta(n)-\delta(\lfloor n/p\rfloor)$

将右侧等式变换一下， $n-\delta(n) = p\lfloor n/p\rfloor - \delta(\lfloor n/p\rfloor)=(p-1)\lfloor n/p\rfloor+\lfloor n/p\rfloor-\delta(\lfloor n/p\rfloor)$

将 $\lfloor n/p\rfloor$ 看成一个值，可以看到最右侧两项可以递归下去，最后就变成

$n-\delta(n)=(p-1)\lfloor n/p\rfloor+(p-1)\lfloor n/p^2\rfloor+(p-1)\lfloor n/p^3\rfloor+...=(p-1)k$ ,命题得证。

参考文档

www.dms.umontreal.ca/~andrew/PDF/BinCoeff.pdf

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