赠券收集者问题

1 定义

如果购买一袋小完能方便面，可以赠送一个卡片，一共有N中卡片，每种卡片出现概率一致（当然实际上商家肯定会把某种卡片出现概率调低），那么如果想收集全部卡片，需要购买多少袋方便面？（求期望值）
这个问题就称为赠券收集者问题。

2 解决

设f(i)表示收集i种卡片的期望值，那么f(n)即为所求

$f(1) = 1$

假设我们已经收集了i种，那么要收集第i+1种时，除去已经有了的i种，剩下的卡片任何一个如果我们得到，总类数都增加了1，拿到新卡片的概率是(N-i)/N，所以

$f(i+1) = f(i) + N/(N-i)$

$f(n) = 1 + N/(N-1) + N/(N-2) + … + N/1 = N * ( ln(N) + o(1) ) \approx N * ln(N)$

参考

[1] http://blog.youkuaiyun.com/zdw12242/article/details/8288056