康托展开原理

康托展开结合组合数学会比较容易理解。

假设有 {1， 2， 3} 这三个数，那么全部的排列组合有 6种，按从小到大的顺序有 123, 132，213， 231， 312， 321。

而康托展开能以n^2的时间复杂度求出比某个排序组合小的个数。比如说 比 213 小的数有2个，比312小的数有4个。

原理：

假设有 {1，2， 3， 4} 这4个数，根据组合数学的知识，一共有 4*3*2*1种排序组合。

3***，这种排序组合且比这种排序组合都小的个数有多少？很明显是 3*3！。

34**，这种排序组合且比这种排序组合都小的个数有多少？ 2*3！+ 3*2！。

等式包含两大类，一类是比34**所有组合都小的，即以1为首和以2为首的所有组合 2*3！，还有31**， 32**的所有组合 2*2！。另一类是34**的所有组合 2！。

同样的，342*，这种排序组合且比这种排序组合都小的个数有多少？比342*都小的分别有 1***，2***，31**，32**，341*，即2*3！+2*2！+1！，而342*这种组合有 1！。一共有2*3！+2*2！+2*1！。

对于3421这种排序组合，我们只求比这种排序组合小的个数有多少，总结上面的内容，比3421小的组合有1***，2***，31**，32**，341*，即 2*3！+2*2！+1*1！。

根据上面所讲的，康托展开的原理就是从某个排序组合的首位开始，找出比当前这位数小的个数，且之前没有出现过的数的个数乘以对应的阶乘，结果累加就是我们要求的值。

比如说3421，从首位3开始，比3小的之前没出现过的数有1,2，那么就有 2*3！。

第二位是4，比4小的数有1，2，3，但是3已经出现在首位了，所以总共只有2个，即1，2，那么就有2*2！。

第三位是2，比2小的数有只有1，而且首位和第二位都不是1，那么就有1*1！。

通过这种方法就能很快的求出比某个排序组合小的总个数。

这种技巧也能够运用在状态压缩上面，某个排序组合有 x个比它小的排序组合，那么