17、工程等几何分析中的热传导与验证测试

工程等几何分析中的热传导与验证测试

1. 引言

在工程分析领域，等几何分析（IGA）和有限元分析（FEA）是常用的方法。为了确保分析结果的准确性和可靠性，需要进行有效的验证和测试。本文将介绍补丁测试（Patch Tests）、数值热补丁测试以及相关的验证选项。

2. 补丁测试

补丁测试最初基于工程判断，当分析域的子区域数量趋近于无穷大时，每个子区域的尺寸趋近于零，子区域内的解梯度应变为常数。该测试不仅是一种数学上有效的收敛性测试，也是对IGA或FEA实现的数值验证。

2.1 测试要求

为了使分析公式收敛且正确实现，需满足以下要求：
1. 内部控制点的值必须与假定函数 (P(x, y)) 在每个内部分析控制点处的计算值完全一致。
2. 计算得到的 (n) 阶导数必须与假定函数定义的常数值完全一致。
3. 这些结果必须与子区域的形状无关。

2.2 测试示例

假设弱积分形式包含关于 (x) 和 (y) 的一阶导数（如泊松方程），假定解可以是任意具有三个任意系数的完全线性多项式，例如 (P(x, y) = 1 + 3x - 4y)，其导数 (\frac{\partial P(x, y)}{\partial x} = 3) 和 (\frac{\partial P(x, y)}{\partial y} = -4) 在整个内部域中为常数。

测试步骤如下：
1. 通过将外部边界上所有控制点的 (x) 和 (y) 坐标代入假定形式，确定所需的狄利克雷边界条件值。
2. 施加这些边界条件后，矩阵系统中仅剩下内部自由度作为未知数。