[ 数论 ] [ DP ] BZOJ3462

最新推荐文章于 2020-01-19 19:14:35 发布

gjghfd

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分类专栏： DP 数论

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本文介绍了一种解决特定数学问题的方法，该问题涉及利用多重背包算法寻找满足特定条件的整数解组合。通过预处理和枚举策略，文章提供了一个有效的解决方案，并附带了完整的C++实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

设 $S=\prod_{i=1}^k p_i ,n=\sum x_ip_i$ 。
可以发现 $k$ 最多只有 $7$ 。
先将 $n$ 减去 $\sum p_i$ ，保证 $lcm=S$ 。
将 $x_i$ 表示为 $a·{S\over p_i}+b ~( ~b<{S\over p_i} ~)$ ，这样每一组 $(a,b)$ 都是一种方案。
将 $n$ 也拆分成 $n\over S$ 和 $n~ mod ~S$ 两部分。显然 $n~ mod ~S$ 只能用 $b$ 填。枚举 $n\over S$ 中有几个由填，多重背包预处理下，剩下的就可以直接算了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=2000010;
const int M=1000000007;
inline char nc(){
    static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf;
    return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline void Read(int& x){
    char c=nc();
    for(;c<'0'||c>'9';c=nc());
    for(x=0;c>='0'&&c<='9';x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=nc());
}
inline void Read(ll& x){
    char c=nc();
    for(;c<'0'||c>'9';c=nc());
    for(x=0;c>='0'&&c<='9';x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=nc());
}
ll n;
int k,m,T,s;
int cnt;
int Ans;
int p[N],num,sum;
int inv[10];
int a[10];
int f[N<<3],g[N<<3],mx;
bool b[N];
inline void Add(int& x,int y){
    x=(x+y)%M;
}
inline bool Init(){
    for(int i=2;i<=s;i++){
        if(!b[i]){
            p[++num]=i;
            if(!(s%i)){
                sum+=i;a[++cnt]=i;
                if(1ll*i*i<=s&&!(s%(i*i)))return 0;
            }
        }
        int t;
        for(int j=1;j<=num&&(t=p[j]*i)<=s;j++){
            b[t]=1;
            if(!(i%p[j]))break;
        }
    }
    inv[0]=inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=9;i++)inv[i]=1ll*inv[M%i]*(M-M/i)%M;
    for(int i=3;i<=9;i++)inv[i]=1ll*inv[i-1]*inv[i]%M;
    return 1;
}
inline void DP(){
    mx=cnt*s;
    f[0]=1;
    for(int i=1;i<=cnt;i++){
        for(int j=0;j<a[i];j++){
            int t=0;
            for(int k=j;k<=mx;k+=a[i]){
                Add(t,f[k]);
                if(k>=s)Add(t,-f[k-s]);
                g[k]=t;
            }
        }
        memcpy(f,g,sizeof(g));
    }
}
inline int C(ll n,int m){
    int Ans=1;
    for(ll i=n-m+1;i<=n;i++)Ans=i%M*Ans%M;
    Ans=1ll*Ans*inv[m]%M;
    return Ans;
}
int main(){
    Read(s);Read(T);
    if(!Init()){
        while(T--)printf("0\n");
        return 0;
    }
    DP();
    while(T--){
        Read(n);
        n-=sum;
        if(n<0){
            printf("0\n");
            continue;
        }
        Ans=0;
        ll x=n/s;int y=n%s;
        for(int i=0;i*s+y<=mx&&i<=x;i++)Add(Ans,1ll*f[i*s+y]*C(x-i+cnt-1,cnt-1)%M);
        printf("%d\n",(Ans+M)%M);
    }
    return 0;
}