codeforces843C Upgrading Tree -- 构造

最新推荐文章于 2020-03-14 14:28:00 发布

gjghfd

最新推荐文章于 2020-03-14 14:28:00 发布

阅读量712

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏：构造文章标签： codeforces

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/gjghfd/article/details/77601303

构造专栏收录该内容

2 篇文章

订阅专栏

针对给定的树形结构，通过合法的边修改操作达到每个节点间的距离平方和最小的目标。该文介绍了一种有效算法，首先寻找树的重心作为根节点，并确保每个子树内的节点都直接连接至其父节点。

传送门

题目大意：

给你一棵 $n$ 个点的树，你可以对这个树进行修改，每次修改可以表示成一个三元组 $(x,y,y')$ ，表示将边 $(x,y)$ 删去并增加一条边 $(x,y')$ 。一个修改是合法的当且仅当满足删去边 $(x,y)$ 后 $x$ 所在连通块大小严格大于 $y$ 所在连通块大小且修改后仍是一颗树。
要求对原树修改不超过 $2n$ 次，使树上每个点对距离的平方和最小。

显然每个点都与根有一条边相连一定是最优的。
先找到原树的重心，将它作为根。令 $size_i$ 表示点 $i$ 的子树大小。
可以发现如果根的一个儿子 $i$ 满足 $size_i\times 2=n$ ，那么根到 $i$ 的这条边不能删去，于是 $i$ 的子树与根必须分开做。
然后考虑怎样使 $u$ 的子树中每个点都与 $u$ 相连。
对于点 $i$ ，令 $father_i$ 表示它的父亲。我们可以先将 $u$ 连到 $i$ ,再将 $i$ 与 $father_i$ 的边断开，连向根。由于 $size_i<size_u-size_i$ ，这样一定是合法的。
这样一个点最多会修改 $2$ 次，总修改次数不超过 $2n$ 。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define N 200010
struct Edge{
    int t,nx;
}e[N<<1];
struct Node{
    int x,y,z;
    Node(int x=0,int y=0,int z=0):x(x),y(y),z(z){}
}a[N<<1];
int Num,h[N],x,y;
int i,j,k,n,m,p,f[N],s[N],S,Rt,l;
int L;
bool b[N];
inline void Add(int x,int y){
    e[++Num].t=y;e[Num].nx=h[x];h[x]=Num;
}
inline int Max(int x,int y){
    return x<y?y:x;
}
inline void Dfs(int x,int y){
    s[x]=1;
    for(int i=h[x];i;i=e[i].nx)
    if(e[i].t!=y&&!b[e[i].t]){
        Dfs(e[i].t,x);
        s[x]+=s[e[i].t];
        f[x]=Max(f[x],s[e[i].t]);
    }
    f[x]=Max(f[x],S-s[x]);
    if(f[x]<f[Rt])Rt=x;
}
inline void Dfs2(int x,int y){
    if(y!=S){
        a[++l]=Node(S,L,x);
        a[++l]=Node(x,y,k);
        L=x;
    }
    for(int i=h[x];i;i=e[i].nx)
    if(e[i].t!=y)Dfs2(e[i].t,x);
}
inline void Solve(int x,int y){
    S=x;
    for(int i=h[x];i;i=e[i].nx)
    if(e[i].t!=y){
        k=L=e[i].t;
        Dfs2(e[i].t,x);
        a[++l]=Node(x,L,k);
    }
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(i=1;i<n;i++)scanf("%d%d",&x,&y),Add(x,y),Add(y,x);
    S=f[0]=n;Dfs(1,0);
    Dfs(Rt,0);x=0;
    for(i=1;i<=n;i++)
    if(i!=Rt&&s[i]*2==n)x=i;
    if(!x)Solve(Rt,0);else Solve(Rt,x),Solve(x,Rt);
    cout<<l<<endl;
    for(i=1;i<=l;i++)printf("%d %d %d\n",a[i].x,a[i].y,a[i].z);
    return 0;
}