16、数字信号处理中的线性预测与谱估计

数字信号处理中的线性预测与谱估计

在数字信号处理领域，线性预测和谱估计是两个重要的研究方向。线性预测主要用于在有噪声的情况下预测信号，而谱估计则是从有限的噪声测量中估计信号的功率谱。

线性预测

线性预测的目标是设计一个滤波器，根据输入信号的前 p 个值的线性组合来预测信号的下一个值。假设输入到维纳滤波器的信号为 (y(n) = x(n) + v(n))，其中 (x(n)) 是信号，(v(n)) 是噪声。我们希望通过滤波器预测 (x(n + 1)) 的值，即 (\hat{x}(n + 1) = \sum_{k = 0}^{p - 1} w(k)y(n - k))。

维纳方程为 (R_{yy}w = r_{dy})，其中 (R_{yy}) 是输入信号 (y(n)) 的自相关矩阵，(r_{dy}) 是期望信号 (d(n))（这里为 (x(n + 1))）与输入信号 (y(n)) 的互相关向量。如果噪声 (v(n)) 与信号 (x(n)) 不相关，则输入信号 (y(n)) 的自相关函数为 (r_{yy}(k) = r_{xx}(k) + r_{vv}(k))，其中 (r_{xx}(k)) 是信号 (x(n)) 的自相关函数，(r_{vv}(k)) 是噪声 (v(n)) 的自相关函数。

最小均方误差（MSE）为 (J_{min} = \sigma_d^2 - r_{dy}^T R_{yy}^{-1} r_{dy})，它给出了期望信号与维纳滤波器输出之间的最小误差。

示例 ：假设噪声为白噪声，方差为 (\sigma_v^2)，信号 ({x(n)}) 的自相关函数为 (r_{xx}(k) = a^k)，使用两系数预测