12、数字信号处理中的线性系统与随机输入

数字信号处理中的线性系统与随机输入

在数字信号处理领域，线性时不变（LTI）滤波器（系统）在众多信号处理应用中发挥着关键作用。由于这些滤波器的输入信号通常是随机过程，因此我们需要确定滤波操作如何改变这些信号的统计特性。

线性系统与随机输入基础

设 (x(n))、(y(n)) 和 (h(n)) 分别为滤波器的输入、输出和脉冲响应。当 (x(n)) 是广义平稳（WSS）过程时，滤波器输出的自相关函数 (r_{yy}(k)) 与输入自相关函数 (r_{xx}(k)) 存在如下关系：
[
r_{yy}(k)=\sum_{l = -\infty}^{\infty}\sum_{m = -\infty}^{\infty}h(l)r_{xx}(m - l + k)h^ (m)
]
对于线性系统，输出 (y(n)) 可以表示为输入 (x(n)) 与脉冲响应 (h(n)) 的卷积：
[
y(n)=h(n) x(n)=\sum_{k = 0}^{\infty}h(k)x(n - k)
]
对其进行离散时间傅里叶变换（DTFT），可得：
[
Y(e^{j\omega}) = H(e^{j\omega})X(e^{j\omega})
]
由于 ({x(n)}) 是离散随机信号，我们需要借助随机过程的频谱表示。用零均值随机信号激励因果线性系统，可得到滞后 (k) 时的输出相关函数：
[
r_{yy}(k)=E{y(n + k)y(n)}=\sum_{i = 0}^{\infty}h(i)E{x(n + k - i)y(n)}=\sum_{i = 0}^{\infty}