79、Ihara系数：高阶学习的灵活工具

Ihara系数：高阶学习的灵活工具

1 引言

在图和超图的研究中，传统的张量只能表示规则超图，不适用于不规则超图。此前有人提出了基于特定方法改进的超图拉普拉斯矩阵并用于超图聚类，但该方法基于相对贫乏的谱特征，忽略了超图结构的许多细节。还有人尝试用Ihara zeta函数的特征来表示超图，但未指明这些特征在哪些情况下优于谱方法，也未研究这些特征的灵活性。

为解决这些问题，我们使用Ihara系数来表征不规则无权超图。提出的超图表示方法被证明是学习具有不同关系阶的不规则无权超图结构的灵活工具。具体贡献有两点：一是提出了一种向量表示方法，自然地避免了超图拉普拉斯矩阵等矩阵表示法带来的歧义；二是提出了一种计算Ihara系数集的高效方法，使系数的计算变得可行。我们使用由Ihara系数组成的模式向量对从不同对象视图的图像中提取的超图进行聚类，并证明了它们在超图表征中的有效性。

2 超图拉普拉斯矩阵

2.1 超图的定义

超图是图的推广。与图的边只能连接两个顶点不同，超图中的超边可以连接任意数量的顶点。超图通常定义为一个对 $H(V, E_H)$，其中 $V$ 是一组元素，称为节点或顶点，$E_H$ 是 $V$ 的一组非空子集，称为超边。用集合形式表示超图能具体捕捉顶点和超边之间的关系，但难以以计算统一的方式进行操作。因此，超图的一种替代表示形式是矩阵。

对于具有 $I$ 个顶点和 $J$ 个超边的超图 $H(V, E_H)$，我们建立一个 $I × J$ 矩阵 $H$，称为超图的关联矩阵。若 $v_i \in e_j$，则 $H$ 的元素 $h_{i,j}=1$，否则为 $0$。

2.2 图表示分类