69、球面嵌入与分类：解决非欧几里得相似度度量问题

球面嵌入与分类：解决非欧几里得相似度度量问题

1. 引言

在模式识别领域，许多问题都可以通过测量一组对象之间的差异来解决。这种方法具有很强的通用性，是经典基于特征方法的超集。几乎所有的识别方法都涉及测量差异或距离，并在此基础上进行分类。

一种常见的处理方式是使用多维缩放或 IsoMap 等技术将对象嵌入到向量空间中。嵌入后，对象可以通过其坐标向量来表征，并使用欧几里得距离进行常规分析。然而，这种范式存在一定的局限性，因为欧几里得距离总是确定的，本质上无法准确表示不确定的差异。

在实际应用中，许多差异度量是不确定的，例如形状相似度、手势解释和图比较中使用的距离度量等。对于不确定的差异数据，有几种处理方法：
- 数据修正 ：去除不确定部分，但这样可能会丢失有用信息，导致性能下降。
- 伪欧几里得空间嵌入 ：某些维度具有负特征值，平方距离由正负分量组成。但这种空间是非度量的，难以正确计算许多分类器所需的几何量，因为局部性无法得到保证。
- 非欧几里得但度量的嵌入空间 ：本文探索将对象嵌入到具有球面几何的超球面上。超球面是一个度量空间，但距离是非欧几里得的，可以表示不确定的差异。

2. 不确定空间

假设我们有一组感兴趣的对象，并测量了所有对象对之间的差异，用矩阵 $D$ 表示，其中 $D_{ij}$ 是对象 $i$ 和 $j$ 之间的距离。通过平方距离矩阵 $D’$（$D’ {ij} = D {ij}^2$），可以定义一组等效的相似度：
[S = -\frac{1}{2}