22、椭圆曲线密码系统中的高效标量乘法与硬件密码学探索

椭圆曲线密码系统中的高效标量乘法与硬件密码学探索

在密码学领域，椭圆曲线密码系统的高效标量乘法以及硬件密码学的应用是重要的研究方向。下面将详细介绍相关的算法和策略。

1. NAF与MOF方法

• NAF方法
  • NAF（Non-Adjacent Form）及其相关变种方法，如wNAF、NAF+SW、Frac - wNAF等，通过减少加法次数和利用预计算点来降低窗口NAF算法的运行时间。然而，NAF方法只能从最低有效位（即从右到左）进行计算，这在内存受限的设备（如智能卡）中存在一定局限性，因为在进行从左到右的评估阶段前，需要额外的n位内存来存储从右到左的指数重编码结果。
  • 以下是不同NAF方法的非零密度和椭圆曲线操作成本的比较：
    | Scheme | 1/N.Z. Density | # ߬ | # ܧܥ |
    | ---- | ---- | ---- | ---- |
    | NAF[3] | 3 | — | ሺ݀െ3 / 3ሻܣ൅ሺ݀െ1ሻܦ |
    | wNAF[3] | ݓ൅1 | ܦ൅ሺ2௪ିଶെ1ሻܣ | ሺ݀ / ݓ൅1 െ1ሻ ܣ൅ሺ݀െ1ሻܦ |
    | NAF+SW[3] | ݒሺݓሻൌݓ൅4 / 3 െሺെ1ሻ௪ / 3. 2௪ିଶ | ܦ൅ቆ2௪൅ሺെ1ሻ௪ାଵ / 3 െ1ቇܣ | ሺ݀ / ݒሺݓሻെ1ሻ ܣ൅ሺ݀െ1ሻܦ |
    | Frac - wNAF[3] | ݒሺݓ, ݉ሻൌݓ൅݉൅1 / 2௪ ൅2 | ܦ൅൬2௪൅݉൅1 / 2 െ1൰ܣ | ሺ݀ / ݒሺݓ, ݉ሻെ1ሻ ܣ൅ሺ݀െ1ሻܦ |