21、密码系统分析与椭圆曲线标量乘法优化

密码系统分析与椭圆曲线标量乘法优化

1. MQQ公钥密码系统分析

MQQ（Multivariate Quadratic Quasigroups）公钥密码系统的安全性分析是密码学领域的重要研究内容。通过对MQQ系统的规则度分析，可以评估其抵抗格罗布纳基（Gröbner bases）攻击的能力。

1.1 规则度分析

规则度是衡量多项式系统复杂度的一个重要指标。在MQQ系统中，规则度的大小直接影响到系统的安全性。当$D_r(x) = 0$时，意味着$F_i◦D_r(x) = 0$。对于每个$i$，可以将对应于$D_r ◦F_i(x) = 0$在$GF(2^{2r + 1})$上的$2r + 1$个方程添加到理想中。然而，这些方程中有很多是相似的。实际上，$F_i$和$F_j$相似当且仅当$gcd(i, 2r + 1) = gcd(j, 2r + 1)$。最坏的情况是$2r + 1$为素数，此时弗罗贝尼乌斯自同构仅给出$2(2r + 1)$个包含$2r + 1$个变量的方程。

对于在$GF(2)$上的随机多元方程系统，当方程数量$m$是变量数量$N$的倍数时，规则度的计算公式为：
[
\frac{D_{reg}}{N} = \frac{1}{2} - k + \frac{1}{2}\sqrt{2k^2 - 10k - 1 + 2(k + 2)\sqrt{k(k + 2)}} + o(1)
]
当$k = 2$时，$D_{reg} = -\frac{3}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{-13 + 16\sqrt{2}}\cdot(2r + 1) \approx 0.051404\cdot(2r + 1) = 0.