36、量子力学中的Hamilton - Jacobi理论与边界探讨

量子力学中的Hamilton - Jacobi理论与边界探讨

量子系统与Hamilton - Jacobi理论的关联

量子系统包含依据薛定谔方程传播的波和具有连续轨迹的粒子。粒子的轨迹由波按照引导方程决定：
[m\frac{dq_i}{dt} = \left.\frac{\partial S}{\partial q_i}\right|_{q_i = q_i(t)}]
并且粒子的概率分布始终由 (|\psi|^2 = R^2) 给出。当把 (\psi = R \exp(iS/\hbar)) 代入多粒子薛定谔方程时，也有类似的结论。

然而，Holland指出引导波理论与经典Hamilton - Jacobi理论的关系并不清晰。具体如下：
- 引导定律的谜团 ：引导定律（上述引导方程）像是一个使经典系统运动变得简单的正则变换的一半，但另一半是什么，以及它能否与哈密顿或Hamilton - Jacobi理论相关联并不明确。
- 量子Hamilton - Jacobi方程的差异 ：由于 (Q) 依赖于 (S)，量子Hamilton - Jacobi方程实际上包含了 (S) 的高阶导数，这与经典的Hamilton - Jacobi方程截然不同。

为了解决这些问题，Holland尝试将引导波理论表述为哈密顿理论。他将 (Q) 视为与经典势 (V) 类似的场函数，把单粒子系统的哈密顿量表示为：
[H(q_i, p_i, t) = \frac{1}{2m}\sum_{i} (p_i^2 + Q(q_i, t) + V(q_i, t))]
但这种处理方式面临三个障碍