18、矩阵模型作为非局部隐变量理论

矩阵模型作为非局部隐变量理论

在量子力学的研究中，我们常常会遇到各种复杂的理论和模型。本文将探讨一种将矩阵模型作为非局部隐变量理论的方法，以及如何从该模型推导出量子力学的相关结论。

1. 布朗运动下的变分原理与量子态

在存在布朗运动的情况下，变分原理（10.19）等价于：
[i\hbar\frac{d\Psi(x, t)}{dt} = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + U(x)\right)\Psi(x, t)]
从这里的观点来看，量子态不过是普通的布朗运动轨迹的统计系综，它们共享一个哈密顿 - 雅可比函数 (S)，而 (S) 本身是一个修正后的哈密顿 - 雅可比方程的解，该方程考虑了布朗运动时动量定义的变化，这也是尼尔森随机量子理论的基本观点。

我们可以为统计变分原理找到一个哈密顿表述。变分原理（10.19）可写为：
[I_{\nu}[\rho, S] = \int dt\int d^n x\left(S\dot{\rho} - H[\rho, S, x]\right)]
其中哈密顿密度为：
[H[\rho, S, x] = \rho\left(\frac{1}{2m}(\partial_a S)^2 + \frac{m\nu^2}{2}(\partial_a \ln \rho)^2 + U(x)\right)]
由此可见，概率密度 (\rho) 可视为共轭坐标，(S) 为其共轭动量，从而我们有一个无限维的相空间，满足：
[{\rho(x), S(x’)} = \delta^n(x’, x)]
哈密顿量 (H = \int d^n x H) 是时间守恒的。容易验