17、矩阵模型作为非局部隐变量理论：量子理论与布朗运动的融合

矩阵模型作为非局部隐变量理论：量子理论与布朗运动的融合

1. 矩阵模型与量子理论的再现

在研究矩阵模型时，我们尝试以一种独特的方式再现矩阵特征值的量子理论。我们不采用传统的经典矩阵模型量子化方法，而是假设矩阵模型的非对角元素处于经典热态。只要温度 $T$ 与 $N$ 以特定方式进行缩放，就能够再现特征值的量子理论。这种量子理论的表述本质上依赖于背景，因为热系综的定义并未涉及任何特定的经典解。

为了理解这一过程，我们可以将矩阵的对角元素类比为经典布朗运动中的花粉颗粒。在低温下，对角元素变得越来越自由；而非对角元素则类似于与花粉颗粒不断碰撞，使其产生布朗运动的分子。实际上，对角元素会受到与非对角元素相互作用产生的随机力影响。虽然在低温下非对角元素的值较小，但随着 $N$ 的增大，由于其数量增多，对对角元素的影响也会更大。最终，大量非对角元素与对角元素的相互作用会引入布朗运动，在低温下这种布朗运动也会传递到特征值上。也就是说，局部变量（对角元素和特征值）的随机性源于它们与大量非局部变量的相互作用。

为了观察到有趣的现象，我们需要在将 $T$ 趋近于零、$N$ 趋近于无穷大时，以适当的方式对 $T$ 进行缩放。研究发现，当 $T \approx 1/N$ 时，模型会表现出临界行为。此时，非对角矩阵元素的量级为 $1/\sqrt{N}$，但当 $N \to \infty$ 时，它们对对角元素以及特征值的集体影响仍然存在。例如，衡量特征值布朗运动的扩散常数在 $N \to \infty$ 时保持有限。

2. 量子统计与布朗运动的联系

量子统计可能只是在不寻常背景下的普通统计，这一观点由来已久。Nelson 提出了量子理论的随机表述，他认为对粒子的量