14、量子力学之下的确定性与关系性解读

量子力学之下的确定性与关系性解读

1. 问题的提出与初步思考

在探讨量子力学相关问题时，我们面临着一些看似矛盾的需求。比如，在三维空间中追求局域性，但却有着受二维空间约束的数值。在某些弦理论版本中，这些矛盾需求在一定程度上得到了满足，但局域性概念似乎被忽视了，而且这些理论所需的“魔法”程度仍难以令人接受。有观点认为，问题的神秘本质在于我们坚持使用量子力学的语言，弦理论的奥秘与量子力学的正确解释之间似乎存在着自然的联系。

2. 用量子力学数学处理确定性系统——以谐振子为例

我们从一个简单的确定性系统开始，该系统由圆周上的一组 $N$ 个状态 ${(0), (1), \ldots, (N - 1)}$ 组成，时间是离散的，单位时间步长为 $\tau$。其演化规律为 $t \to t + \tau$ 时，$(\nu) \to (\nu + 1 \mod N)$。

引入由状态 $(\nu)$ 张成的希尔伯特空间的基后，演化算符可写为：
[U(\Delta t = \tau) = e^{-iH\tau} = e^{-\pi i/N}
\begin{pmatrix}
0 & 1 \
1 & 0 \
& 1 & 0 \
& & \ddots & \ddots \
& & & 1 & 0
\end{pmatrix}
]
其本征态为 $|n\rangle = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{\nu = 1}^{N} e^{2\pi in\nu/N}(\nu)$，$n =