[力扣]给定两个大小分别为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 nums1 和 nums2。请你找出并返回[leetcode 004]

韩进520

于 2025-09-11 19:30:44 发布

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分类专栏：力扣（Leetcode）每日一题文章标签： leetcode java 算法数据结构 python

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4.高效查找两个正序数组的中位数：O(log(m+n))算法详解

问题引入

寻找两个正序数组的中位数
给定两个大小分别为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 nums1 和 nums2。请你找出并返回这两个正序数组的中位数。

算法的时间复杂度应该为 O(log (m+n)) 。

例题4

中位数的定义与问题边界

中位数是将数据分为两部分的中间值，需满足：

长度平衡：左右两部分长度相等或相差1
数值有序：左部所有元素 ≤ 右部所有元素

对于正序数组，无需合并即可高效查找中位数。输出规则：

奇数长度：中间位置的单个数值
偶数长度：中间两个数的平均值（需保留浮点数精度）

时间复杂度的严格限制

当总长度为1e6时：

暴力解法（O(m+n)）：需100万次操作
二分查找（O(log(m+n))）：仅需约20次操作

这种差距在大数据场景下至关重要，必须利用数组有序性实现对数级复杂度。

示例驱动的直观理解

示例1：nums1 = [1,3], nums2 = [2]
合并后[1,2,3]，中位数为2（奇数长度）

示例2：nums1 = [1,2], nums2 = [3,4]
合并后[1,2,3,4]，中位数为(2+3)/2=2.5（偶数长度）

合并数组法虽然直观，但存在O(m+n)的时间和空间开销，必须寻找更优解。

从暴力解法到二分查找的思路演进

暴力解法：合并数组法的局限

合并过程类似归并排序：

def merge_and_find(nums1, nums2):
    merged = []
    i = j = 0
    while i < len(nums1) and j < len(nums2):
        if nums1[i] < nums2[j]:
            merged.append(nums1[i])
            i += 1
        else:
            merged.append(nums2[j])
            j += 1
    merged.extend(nums1[i:])
    merged.extend(nums2[j:])
    L = len(merged)
    return merged[L//2] if L%2 else (merged[L//2-1]+merged[L//2])/2

缺陷：

时间复杂度O(m+n)，空间复杂度O(m+n)
大数据场景下内存占用和运算时间不可接受

关键洞察：分割数组找中位数

核心思想：找到分割点(i,j)，使：

左部元素总数 = (m+n+1)//2（确保左部可能多1个元素）
左部最大值 ≤ 右部最小值

此时：

奇数长度：中位数 = 左部最大值
偶数长度：中位数 = (左部最大值+右部最小值)/2

二分查找的引入

选择较短数组进行二分（时间复杂度O(log min(m,n))）：

分割点i（nums1）和j（nums2）满足i+j=(m+n+1)//2
通过二分调整i，使nums1[i-1] ≤ nums2[j]且nums2[j-1] ≤ nums1[i]

二分查找算法的核心原理

分割点的数学约束

设总长度L=m+n，左部需有(L+1)//2个元素，因此：
i + j = (m + n + 1) // 2

示例验证：

示例1：m=2,n=1 → i+j=(3+1)//2=2
示例2：m=2,n=2 → i+j=(4+1)//2=2

分割条件与调整策略

核心条件：

左部最大值 = max(nums1[i-1], nums2[j-1])
右部最小值 = min(nums1[i], nums2[j])
需满足：左部最大值 ≤ 右部最小值

调整规则：

若nums1[i-1] > nums2[j] → i过大，需左移
若nums2[j-1] > nums1[i] → i过小，需右移

边界处理与哨兵值技巧

使用±∞处理边界情况：

i=0（nums1左部为空）→ nums1[i-1] = -∞
i=m（nums1右部为空）→ nums1[i] = +∞
j=0或j=n时同理

代码实现：

max_left = max(nums1[i-1] if i>0 else -inf, nums2[j-1] if j>0 else -inf)
min_right = min(nums1[i] if i<m else inf, nums2[j] if j<n else inf)

Python代码实现与关键细节

完整代码与注释

def findMedianSortedArrays(nums1, nums2):
    # 确保nums1是较短数组
    if len(nums1) > len(nums2):
        nums1, nums2 = nums2, nums1
    m, n = len(nums1), len(nums2)
    left, right = 0, m  # 二分查找范围
    
    while left <= right:
        i = (left + right) // 2  # nums1分割点
        j = (m + n + 1) // 2 - i  # nums2分割点
        
        # 处理边界情况
        nums1_left_max = nums1[i-1] if i > 0 else float('-inf')
        nums1_right_min = nums1[i] if i < m else float('inf')
        nums2_left_max = nums2[j-1] if j > 0 else float('-inf')
        nums2_right_min = nums2[j] if j < n else float('inf')
        
        # 判断分割是否有效
        if nums1_left_max <= nums2_right_min and nums2_left_max <= nums1_right_min:
            # 计算中位数
            if (m + n) % 2 == 1:
                return max(nums1_left_max, nums2_left_max)
            else:
                return (max(nums1_left_max, nums2_left_max) + 
                        min(nums1_right_min, nums2_right_min)) / 2
        elif nums1_left_max > nums2_right_min:
            right = i - 1  # i过大，左移
        else:
            left = i + 1  # i过小，右移
    
    raise ValueError("Input arrays are not sorted")