24、数值方法中的微分方程求解与应用

数值方法中的微分方程求解与应用

1. 预测 - 校正方法

在数值求解微分方程时，有一种预测 - 校正方法。其步骤如下：
1. 使用欧拉法进行预测：$y_{i + 1}^ = y_i + hf (x_i, y_i)$。
2. 然后对预测值进行校正：$y_{i + 1} = y_i + h[f (x_{i + 1}, y_{i + 1}^ ) + f (x_i, y_i)]/2$。

这种方法可以对欧拉法的结果进行改进，例如使用该方法后，误差从无校正的欧拉解的较大误差降低到了 15%，虽然仍有改进空间，但已经有了明显的提升。

2. 线性常微分方程（LODEs）

对于具有常系数的线性常微分方程，可以使用矩阵指数进行解析求解，在 MATLAB 中可以使用 expm 函数。具体示例可参考 MATLAB 帮助文档中的“Mathematics: Matrices and Linear Algebra: Matrix Powers and Exponentials”部分。

3. Runge - Kutta 方法

Runge - Kutta 方法是一类用于求解常微分方程组的算法。相关公式较为复杂，可在大多数数值分析书籍中找到。在 MATLAB 中，有许多 ODE 求解器，如 ode23 （二阶/三阶）和 ode45 （四阶/五阶），它们都实现了 Runge - Kutta 方法。数值方法的阶数是指主导误差项中 $h$（即 $dt$）的幂次，由于 $h$ 通常很小，幂次越高，误差越小。