72、决策理论规划与信息空间：从滤波到博弈的深入探索

决策理论规划与信息空间：从滤波到博弈的深入探索

1. 卡尔曼滤波与扩展卡尔曼滤波

卡尔曼滤波在决策理论规划中扮演着重要角色，其表达式 (L_k) 为：
[L_k = \Sigma’ kC_k^T\left(C_k\Sigma’_kC_k^T + H_k\Sigma {\psi}H_k\right)^{-1}]
要得到 (L_{k + 1})，只需将上式中的 (k) 替换为 (k + 1)。在计算 (\mu_{k + 1}) 时，需先计算 (\Sigma’ {k + 1})，因为 (\mu {k + 1}) 的计算依赖于 (L_{k + 1})，而 (L_{k + 1}) 又依赖于 (\Sigma’_{k + 1})。

卡尔曼滤波最常见的用途是通过 (\mu_k) 对状态 (x_k) 进行可靠估计。对于线性高斯（LG）系统，成本泛函为二次型的最优期望成本反馈计划可以用闭式表达式表示，这种模型常被称为线性二次高斯（LQG）模型，它具有线性、二次成本和高斯的特点。最优反馈计划甚至可以直接用 (\mu_k) 表示，而无需 (\Sigma_k)。不过，虽然信息空间（I - space）可简化为状态空间 (X)，但相应的 I - 映射并不充分，因为从公式 (11.80) 和 (11.83) 可以看出，计算均值仍需要协方差。因此，最优计划可表示为 (\pi: X \to U)，但为使 I - 映射充分，需要在高斯信息空间 (I_{gauss}) 中表示导出的 I - 状态。

卡尔曼滤波为线性高斯模型提供了出色的解决方案，即使在不满足这些条件的实际问题中，扩展卡尔曼滤波也常能成功应用。这是因为概率信息空间可以通过基于二阶矩的近似，用