32、运动规划中的组合分解方法详解

运动规划中的组合分解方法详解

在运动规划领域，组合分解方法是解决复杂问题的重要手段。这些方法能够将复杂的空间分解为更易于处理的单元，从而为机器人的路径规划提供基础。下面将详细介绍几种常见的组合分解方法。

1. 单纯复形与奇异复形

单纯复形（Simplicial Complex）是有限个单形的集合，需要满足以下两个条件：
- 集合中任意单形的面也在该集合中。
- 集合中任意两个单形的交集要么是它们的公共面，要么为空集。

例如，图6.15展示了单纯复形的要求，单形的面需要很好地拼接在一起。对于 ( k > 0 )，单纯复形的 ( k ) - 胞腔定义为任意 ( k ) - 单形的内部 ( int([p_1, \ldots, p_{k + 1}]) )；对于 ( k = 0 )，每个 ( 0 ) - 单形就是一个 ( 0 ) - 胞腔。所有胞腔的并集构成了单纯复形所覆盖点集的一个划分。

然而，由于运动规划中存在复杂的拓扑空间、隐式非线性模型和分解算法，单纯复形对于最一般的问题是不够的。奇异复形（Singular Complex）是单纯复形的推广，它可以定义在任何流形 ( X ) 上（甚至可以定义在任何豪斯多夫拓扑空间上）。主要区别在于，单纯复形中的每个单形是 ( \mathbb{R}^n ) 的子集，而奇异复形中的每个奇异单形实际上是从 ( \mathbb{R}^n ) 中的（单纯）单形到 ( X ) 的子集的同胚。

为了帮助理解，先考虑一维奇异复形，它恰好是一个拓扑图。区间 ( [0, 1] ) 是一个 ( 1 ) - 单形，连续路径 ( \tau: [0, 1] \to X ) 是一个奇异 ( 1 ) - 单形，因为