22、运动规划中的度量、测度与采样理论

运动规划中的度量、测度与采样理论

一、运动规划中的度量空间

1.1 通用度量公式

对于空间 (Z)，存在这样的度量公式：
(\rho_z(z, z’) = \left( c_1 \left{ \rho_x(x, x’) \right}^p + c_2 \left{ \rho_y(y, y’) \right}^p \right)^{1/p})
这里 (p) 为任意正整数，同时需要选择两个正常数 (c_1) 和 (c_2)。需要注意的是，度量的选择有很多种，并没有绝对“正确”的选择。

1.2 常见运动规划度量空间示例

示例	描述	度量公式
SO(2) 用复数表示的度量	若 (SO(2)) 用单位复数表示，其位形空间是 (R^2) 的子集 ({(a, b) \in R^2	a^2 + b^2 = 1})，可应用 (R^2) 中的 (L^p) 度量，以欧几里得度量为例
SO(2) 通过比较角度的度量	之前的 (SO(2)) 度量计算的是 (R^2) 中两点间线段长度，并非沿圆的距离，存在失真。此度量直接比较角度 (\theta_1) 和 (\theta_2)	(\rho(\theta_1, \theta_2) = \min \left{