10、反馈线性化与控制系统设计及非线性稳定性分析

反馈线性化与控制系统设计及非线性稳定性分析

1. 反馈线性化控制器概述

反馈线性化技术主要有输入 - 状态反馈线性化和输入 - 输出（I/O）反馈线性化两种。前者需要诸如 Frobenius 定理和李代数等复杂的数学工具，推导出的控制律往往因需要确定非线性状态空间变换及其逆而较为复杂。而 I/O 反馈线性化应用直接，是一种更偏向工程的控制系统设计方法，适用于包括机器人操纵器、机械系统和其他拉格朗日系统等大量的非线性控制问题。

1.1 I/O 反馈线性化控制器设计

1.1.1 示例系统与问题描述

考虑系统动力学方程，目标是设计一个跟踪控制器，使 $x_1(t)$ 跟踪用户指定的期望轨迹 $Y_d(t)$。这是一个复杂的设计问题，无法使用前面提到的线性时不变（LTI）技术解决。

1.1.2 I/O 反馈线性化步骤

• 选择输出 $y(t) = x_1(t)$，根据性能规格定义输出。
• 对 $y(t)$ 反复求导，并代入状态导数，直到控制输入 $u(t)$ 出现：
• $y = x_1 = x_1x_2 + x_3$
• $\dot{y} = \dot{x}_1 = \dot{x}_1x_2 + x_1\dot{x}_2 + \dot{x}_3 = [\sin x_1 + x_2x_3 + x_1x_2^2]+ [1 + x_1^2]u = f(x) + g(x)u$
• 定义变量 $z_1 = y$，$z_2 = \dot{y}$，则有 $\dot{z}_2 = f(x) + g(x)u$。
• 通过重