9、动态系统基础：稳定性、无源性、可观性与可控性及反馈线性化设计

动态系统基础：稳定性、无源性、可观性与可控性及反馈线性化设计

在控制理论中，设计能实现期望性能的系统是核心目标。如果系统具备某些无源性，设计过程会简化，还能保证闭环系统的鲁棒性等额外特性。而稳定性等特性，在原始开环系统中可能并不具备，但却是闭环系统性能的设计要求。

1. 稳定性

稳定性与鲁棒性是闭环系统的重要性能要求。即便原始系统的开环稳定性不理想，也期望设计出反馈控制系统，使闭环系统具备足够的稳定性。下面主要讨论连续时间系统的稳定性，相关定义经适当修改后也适用于离散时间系统。

考虑动态系统：
$\dot{x} = f(x, t)$ （2.3.1）
其中 $x \in \mathbb{R}^n$，该系统可能表示未受控制的开环系统，也可能是控制输入 $u(t)$ 由状态 $x(t)$ 确定后的闭环系统。设初始时间为 $t_0$，初始条件为 $x_0 = x(t_0)$。若函数 $f$ 中显式包含时间 $t$，则该系统为非自治系统；若不包含，则为自治系统。控制系统中时间显式相关的主要原因是存在随时间变化的干扰 $d(t)$。

若 $f(x_e, t) = 0$，$t \geq t_0$，则状态 $x_e$ 是系统的平衡点。若 $x_0 = x_e$，即系统从平衡状态开始，那么它将永远保持在该状态。对于线性系统，唯一可能的平衡点是 $x_e = 0$；对于非线性系统，平衡点可能不为零，甚至可能存在一个平衡集，如极限环。

• 渐近稳定性 ：
  • 若存在一个紧集 $S \subset \mathbb{R}^n$，对于任意初始条件 $x_0 \in S$，当