19、空中操作系统的概念、算法模型及运动控制数学建模

空中操作系统的概念、算法模型及运动控制数学建模

1. 空中操作系统的概念与算法模型

空中操作系统涉及多个相互关联的实体，如无人机、机械臂、地面物体以及环境因素等。其核心问题在于开发模型 - 算法支持，以控制无人机机械臂在与地面物体进行物理交互时的运动，同时应对各种干扰和障碍物对几何通过性的影响。

在确定机械臂可接受的配置时，有一个重要的算法。该算法的流程如下：

graph TD
    A[开始] --> B[输入参数值 TСw, Tr, q_thsa]
    B --> C[机械臂的循环配置 TСw, w = 1,2, … W]
    C --> D[按运动轨迹类型 Tr 循环, r = 1,2, … R]
    D --> E[按关节角度 q_thsa 循环, a = 1,2, … A]
    E --> F[计算 xn 和 yn 的值]
    F --> G{S = 0; (xn, yn) Є Tr?}
    G -- 是 --> H[S = S + 1]
    H --> I[输出机械臂配置数量 S]
    G -- 否 --> E
    I --> J[结束]

此算法通过分析末端工作机构的典型轨迹，并计算机械臂各连杆之间的角度范围，确保机械臂在沿着指定轨迹运动时，其质心能保持在垂直轴上。

另外，还开发了基于正逆运动学问题求解的算法，用于计算所有机械臂连杆关键点的坐标。该算法的特点是限制机械臂、其连杆和末端工作机构的质心在水平和垂直轴上的位移，从而在末端机构沿计算轨迹运动时，使机械臂质心的水平坐标位移最小。

2. 无人机机械臂设计的算法模型

无人机机械臂设计的算法模型包含多个阶段：
- 确定可接受的机械臂类型 ：综合考虑任务需求、能量消耗和计算资源等因素，选择最合适的机械臂类型。
- 计算机械臂的运动学和动力学模型 ：为后续的轨迹规划和控制提供基础。
- 设计机械臂连杆的轨迹 ：确保机械臂能够按照预期的路径运动。
- 设计机械臂的控制器 ：实现对机械臂运动的精确控制。
- 在干扰因素影响下测试机械臂 ：检查机械臂在与地面物体工作时的稳定性。

3. 空中操作系统运动控制的数学建模

3.1 运动学和动力学模型的合成

研究中首先针对一个由 3 个连杆组成、具有 3 个自由度的机械臂，解决了正运动学问题。该机械臂相邻两个连杆之间通过铰链连接，且两个连续的旋转关节轴相互平行。机械臂的 3 个连杆重量均为 0.15 kg，长度分别为 l1 = 0.15 m，l2 = 0.30 m，l3 = 0.15 m。

逆运动学问题是根据末端执行器相对于基座的位置和方向以及所有几何连杆参数，求出关节位置的值。解决逆运动学问题有两种方法：闭式解和数值方法。闭式解方法通常分为代数方法和几何方法，常见的数值方法可分为符号消除法、连续法和迭代法。在本研究中，由于末端执行器 E 始终在垂直轴 y 上运动，且机械臂的质心是连杆 2（BD）的中点 C，因此选择了几何方法来解决逆运动学问题。

确定关节角度的步骤如下：
- 确定 θ1 ：
- 根据三角形 ABH，有(\sin\theta_1 = \frac{AH}{AB})，其中(AH = \frac{AE}{4} = \frac{Py}{4})，(AB = l_1)，所以(\sin\theta_1 = \frac{Py}{4l_1})。
- 再根据(\cos\theta_1 = \sqrt{1 - (\sin\theta_1)^2})，以及(\tan\theta_1 = \frac{\sin\theta_1}{\cos\theta_1})，可得关节位置(\theta_1 = A\tan2(\cos\theta_1, \sin\theta_1))。
- 确定 θ2 ：由(\vert2\theta_1\vert + \vert\theta_2\vert = \pi)，且(\theta_1)和(\theta_2)始终小于 0，可得(2\theta_1 + \theta_2 = -\pi)，所以(\theta_2 = -\pi - 2\theta_1)。
- 确定 θ3 ：因为(\vert\theta_2\vert = \vert\theta_3\vert)，且(\theta_2)始终小于 0，(\theta_3)始终大于 0，所以(\theta_3 = -\theta_2 = \pi + 2\theta_1)。

这些角度(\theta_1)、(\theta_2)和(\theta_3)是控制器的输入数据。

对于具有 3 个自由度的机械臂的动力学模型，可通过拉格朗日方程为每个广义坐标获得运动方程：
(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = \tau_i)
其中(L = T - U)（拉格朗日公式），(T)和(U)分别是总动能和势能，(q_i = [\theta_1\theta_2… \theta_i]^T)是机械臂的关节角度参数。

动能(T = \frac{1}{2}\dot{\theta}^T M\dot{\theta})，其中(\dot{\theta} = [\dot{\theta}_1 \dot{\theta}_2 … \dot{\theta}_i]^T)，(M)是机器人机械臂的广义质量矩阵。

势能(U = \sum_{i = 1}^{}\begin{bmatrix}0 & m_ig & 0\end{bmatrix}r_{0TCOM_i})，其中(r_{0TCOM_i})的确定方式为：
(r_{0TCOM_i} = \begin{bmatrix}0TCOM_i(1, 4)\0TCOM_i(2, 4)\0TCOM_i(3, 4)\end{bmatrix})

通过上述公式可得到过渡的雅可比矩阵(J_{Ti})、方向余弦矩阵(A_i)及其导数(dA_i)、角速度矩阵(\omega_i)和旋转雅可比矩阵(J_{Ri})。最终，机器人机械臂的质量矩阵(M = \sum_{i = 1}^{}(m_i(J_{Ti}^T J_{Ti}) + J_{Ri}^T(A_i I_i A_i^T)J_{Ri}))，其中(I_i = \begin{bmatrix}0 & 0 & 0\0 & 0 & 0\0 & 0 & m_il_i^2/3\end{bmatrix})。由此可确定([\ddot{\theta}_1 \ddot{\theta}_2 \ddot{\theta}_3])和([\tau_1 \tau_2 … \tau_i])。

3.2 运动轨迹规划

对于具有 3 个自由度的机械臂，运动轨迹规划是指关节相对于时间的运动序列。为了实现平滑连续的运动，开发了高次多项式轨迹：(\theta_{n}^k(t) = a_{n}^k t^n + a_{n - 1}^k t^{n - 1} + … + a_{2}^k t^2 + a_{1}^k t + a_{0}^k)，其中(n)是多项式的次数，(k)是机械臂连杆，(t)是时间。

轨迹方程的条件如下：
- (\theta_{j}^k(0) = q_i)
- (\theta_{j}^k(5) = q_f)
- (\dot{\theta} {j}^k(0) = 0)
- (\dot{\theta} {j}^k(5) = 0)
- (\ddot{\theta} {j}^k(0) = 0)
- (\ddot{\theta} {j}^k(5) = 0)

其中(q_i = (\theta_{1i}; \theta_{2i}; \theta_{3i}) = (-1.5708; 0; 0))，(q_f = (\theta_{1f}; \theta_{2f}; \theta_{3f}) = (-0.5236; -2.0944; 2.0944))。

根据这些条件，可得到不同阶次的多项式轨迹：
- 3 阶多项式轨迹 ：
- (\theta_{3}^1 = -0.0168t^3 + 0.1257t^2 - 1.5708)
- (\theta_{3}^2 = 0.0335t^3 - 0.2513t^2)
- (\theta_{3}^3 = -0.0335t^3 + 0.2513t^2)
- 4 阶多项式轨迹 ：
- (\theta_{4}^1 = 0.0050t^4 - 0.0670t^3 + 0.2513t^2 - 1.5708)
- (\theta_{4}^2 = -0.0101t^4 + 0.1340t^3 - 0.5027t^2)
- (\theta_{4}^3 = 0.0101t^4 - 0.1340t^3 + 0.5027t^2)
- 5 阶多项式轨迹 ：
- (\theta_{5}^1 = 0.0020t^5 - 0.0251t^4 + 0.0838t^3 - 1.5708)
- (\theta_{5}^2 = -0.0040t^5 + 0.0503t^4 - 0.1676t^3)
- (\theta_{5}^2 = -0.0040t^5 + 0.0503t^4 - 0.1676t^3)

这些轨迹方程是正在开发的 PID 控制器的输入数据。

4. 空中操作系统连杆数量的仿真

在分析实验中，为了选择适合无人机的机械臂类型，考虑了一个 5 自由度的机械臂。该机械臂仅由旋转关节组成，两个连续的旋转铰链轴相互平行，因此只在一个 Oxy 平面内考虑。每个连杆的长度为 0.2 m，重量分别为 M1 = 0.45 kg，M2 = 0.25 kg，M3 = 0.15 kg，M4 = 0.15 kg，M5 = 0.15 kg。

对于不同的(\Delta y)和(\Delta\theta)值，得到的(\theta)角集合数量如下表所示：
| (\Delta y) (m) | (\Delta\theta) (degree) | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| — | — | — | — | — | — | — | — | — |
| 0.001 | q_ths | 1464 | 518 | 184 | 117 | 42 | 34 | 10 |
| 0.002 | q_ths | 743 | 259 | 92 | 60 | 21 | 17 | 10 |
| 0.003 | q_ths | 488 | 173 | 59 | 38 | 15 | 12 | 4 |
| 0.004 | q_ths | 376 | 127 | 47 | 29 | 13 | 6 | 3 |
| 0.005 | q_ths | 291 | 100 | 36 | 30 | 8 | 10 | 3 |
| 0.006 | q_ths | 247 | 79 | 32 | 20 | 8 | 2 | 3 |

实验结果表明，(\theta)角集合的数量与(\Delta y)和(\Delta\theta)成反比。

为了分析机械臂在沿给定轨迹运动时将其质心保持在垂直轴上的能力，考虑了工作机构在 1 到 5 个空间中的坐标，如(\Delta y = 0.002)和(\Delta\theta = 10^{\circ})时所示。如果存在满足质心在垂直轴上条件的(\theta)角集合，则该机械臂可用于空中操作系统。

实验结果表明，可以设计机械臂，使其在运行过程中质心始终保持在垂直轴上。然而，5 自由度的机械臂需要至少 2 个连杆始终位于垂直轴的同一侧，以平衡其他连杆。这意味着机械臂的工作长度将显著减少，尽管其实际长度可达 1 m。此外，作为配重的两个连杆将比其他连杆更重，从而增加了机械臂的重量。如果将这种重型机械臂安装在航空操作系统上，无人机将不得不消耗大量能量来携带它，这会降低系统的整体性能。

机械臂的连杆越多，其将质心保持在垂直轴上的能力就越强。但如果连杆过多，机械臂会更长更重，此时空中操作系统将面临一些问题，如系统没有足够的能量长时间工作，以及机械臂工作时扭矩会非常大。因此，设计一个轻量级且连杆数量较少的机械臂是本研究的目标之一。图 11.1 所示的 3 自由度轻量级机械臂是空中操作系统的一个可接受选择。

空中操作系统的概念、算法模型及运动控制数学建模

5. 机械臂选择与系统性能分析

在选择适合空中操作系统的机械臂时，需要综合考虑多个因素。从连杆数量来看，5 自由度机械臂虽然在保持质心在垂直轴上的能力方面有一定优势，但存在工作长度减少、重量增加等问题，这会影响整个系统的性能。而 3 自由度轻量级机械臂则在重量和能耗方面表现更优，是一个较为合适的选择。

以下是 3 自由度和 5 自由度机械臂的性能对比表格：
| 机械臂类型 | 连杆数量 | 工作长度 | 重量 | 质心保持能力 | 能耗 |
| — | — | — | — | — | — |
| 3 自由度轻量级机械臂 | 3 | 相对适中 | 较轻 | 基本满足要求 | 较低 |
| 5 自由度机械臂 | 5 | 实际长但工作长度减少 | 较重 | 较强 | 较高 |

在实际应用中，如果任务对机械臂的灵活性和操作范围要求不高，3 自由度机械臂可以在保证一定性能的前提下，降低系统的能耗和负担。而对于一些对操作精度和灵活性要求较高的任务，可能需要在权衡系统性能和能耗的基础上，进一步优化机械臂的设计。

6. 机械臂运动控制的优化思路

为了提高空中操作系统中机械臂的运动控制性能，可以从以下几个方面进行优化：
- 轨迹规划优化 ：在设计运动轨迹时，可以根据不同的任务需求和机械臂的特性，选择更合适的多项式阶次。例如，对于需要快速响应的任务，可以选择较低阶次的多项式轨迹，以减少计算量和响应时间；对于需要更平滑运动的任务，则可以选择较高阶次的多项式轨迹。
- 控制器设计优化 ：PID 控制器是一种常用的控制器，但可以结合模糊控制等方法，设计更智能的控制器。模糊 PID 控制器可以根据机械臂的实时运动状态，自动调整控制参数，提高控制的精度和稳定性。
- 机械结构优化 ：通过优化机械臂的连杆长度、重量分布等结构参数，可以进一步提高机械臂的质心保持能力和运动性能。例如，合理分配连杆的重量，使质心更接近垂直轴，减少水平方向的位移。

7. 总结与展望

综上所述，空中操作系统的机械臂设计和运动控制是一个复杂的问题，需要综合考虑多个因素。通过开发合适的算法模型和数学建模方法，可以有效地解决机械臂的运动控制问题，提高系统的性能和稳定性。

在未来的研究中，可以进一步探索以下几个方向：
- 多机械臂协同控制 ：研究多个机械臂在同一空中操作系统中的协同工作方式，提高系统的操作效率和灵活性。
- 自适应控制策略 ：开发能够根据环境变化和任务需求自动调整控制策略的自适应控制器，提高系统的鲁棒性。
- 新型材料应用 ：探索使用新型材料来制造机械臂，减轻机械臂的重量，提高系统的能量利用效率。

以下是一个简单的 mermaid 流程图，展示了未来研究方向的探索过程：

graph LR
    A[多机械臂协同控制] --> B[提高操作效率和灵活性]
    C[自适应控制策略] --> D[提高系统鲁棒性]
    E[新型材料应用] --> F[减轻重量和提高能量利用效率]
    B --> G[未来系统优化]
    D --> G
    F --> G

通过不断的研究和创新，相信空中操作系统的性能将得到进一步提升，为更多的应用场景提供有力支持。