PySR项目中幂运算表达式发现的挑战与解决方案

PySR项目中幂运算表达式发现的挑战与解决方案

PySR High-Performance Symbolic Regression in Python and Julia 项目地址: https://gitcode.com/gh_mirrors/py/PySR

问题背景

在符号回归(Symbolic Regression)领域，PySR作为一个强大的工具，能够从数据中自动发现数学表达式。然而，近期用户在使用PySR时遇到了一个有趣的问题：当尝试从数据中重新发现X²这样的简单幂函数时，PySR未能成功找到这个基本表达式。

问题重现与分析

用户提供了一个典型的测试案例：生成一组随机数据X，计算y=X²，然后让PySR尝试重新发现这个关系。PySR配置了基本的二元运算符（加法和幂运算）和一些一元运算符（余弦和指数函数）。

令人意外的是，PySR最终输出的最佳表达式是类似于1.32^x0 + 53.28这样的形式，而非期望的x0²。深入分析后，发现问题根源在于：

1. 实数运算的限制：当X包含负值（这在随机生成的数据中很常见）时，类似x0^1.99这样的表达式会产生复数结果
2. 损失函数计算：复数结果会导致NaN（非数字）输出，进而产生无限大的损失值
3. 优化难度：算法需要"恰好"找到2.0这个整数幂才能避免复数结果，这在连续优化空间中概率极低

解决方案探讨

针对这一问题，技术专家提出了几种有效的解决方案：

1. 使用乘法替代幂运算

最直接的解决方案是使用乘法运算符()替代幂运算(^)。因为xx与x²在数学上等价，且乘法运算不会产生复数结果。

2. 引入绝对值函数

在运算符集中添加绝对值函数(abs)，允许模型构建如abs(x)^1.9999这样的表达式。这使得优化过程可以平滑地接近x²的解。

3. 自定义安全幂运算

定义一个自定义的二元运算符"abs_pow"，其实现为abs(x)^y。这种方法既保留了幂运算的表达能力，又避免了复数结果。

4. 使用复数数据类型

将输入数据转换为复数类型（如Python中的+0j），使得负数的小数次幂也能产生有效结果。这样优化过程可以平滑收敛到整数幂。

5. 使用专用平方运算符

PySR内置了square一元运算符，专门用于计算平方。虽然这相当于"告诉"模型答案，但在某些场景下是可接受的简化。

技术深入

这个问题揭示了符号回归中一个重要的实现细节：运算符的选择不仅影响表达能力，还直接影响优化过程的可行性。特别是：

• 运算符的数学性质：某些运算在特定输入域会产生无效结果
• 优化平滑性：优化过程需要能够通过连续调整参数逐步改进解
• 数值稳定性：中间结果的数值特性会影响整个优化过程

最佳实践建议

基于这一案例，我们建议PySR用户：

1. 在设计符号回归任务时，仔细考虑运算符的数学性质
2. 对于幂运算，考虑使用上述解决方案之一来避免优化困难
3. 在可能的情况下，优先使用乘法而非幂运算来表示平方关系
4. 监控优化过程中的NaN值，这往往是数值问题的信号

结论

这个案例展示了符号回归中看似简单的问题可能隐藏着复杂的数值挑战。通过理解PySR的内部机制和数学基础，用户可以更有效地配置模型，解决实际问题。这也提醒我们，在机器学习中，数学表达式的选择不仅关乎模型能力，还直接影响优化过程的可行性。

PySR High-Performance Symbolic Regression in Python and Julia 项目地址: https://gitcode.com/gh_mirrors/py/PySR