OptimalTransport.jl项目：计算密度函数与Dirac点集之间的Wasserstein距离

OptimalTransport.jl项目：计算密度函数与Dirac点集之间的Wasserstein距离

OptimalTransport.jl Optimal transport algorithms for Julia 项目地址: https://gitcode.com/gh_mirrors/op/OptimalTransport.jl

背景介绍

在概率分布的比较分析中，Wasserstein距离（又称Earth Mover's Distance）是一种重要的度量工具。OptimalTransport.jl作为Julia生态中的最优传输计算包，为这类问题提供了高效的解决方案。本文将重点探讨如何计算连续密度分布（如高斯分布）与离散经验分布（Dirac点集）之间的Wasserstein距离。

核心问题

传统方法中，研究者常将连续分布离散化为直方图后计算Wasserstein距离，但这种方法存在两个显著缺陷：

1. 结果严重依赖分箱(bin)宽度的选择
2. 离散化过程会引入信息损失

解决方案

OptimalTransport.jl提供了更优雅的解决思路——直接通过采样将连续分布转化为离散点集，避免了直方图离散化的问题。具体实现步骤如下：

1. 分布采样

对于d维空间中的连续分布（如多元高斯分布），我们可以直接生成样本点：

using Distributions
σ1 = MvNormal(I(2))  # 2维标准正态分布
N = 100  # 采样点数
μsupport = rand(σ1, N)'  # 生成采样点

2. 构建经验分布

对于离散的Dirac点集，我们可以直接使用采样点作为支撑集，并赋予均匀权重：

μ = fill(1/N, N)  # 均匀权重

3. 计算成本矩阵

使用平方欧氏距离构建成本矩阵：

using Distances
C = pairwise(sqeuclidean, μsupport', νsupport'; dims=2)

4. 计算Wasserstein距离

OptimalTransport.jl提供两种计算方式：

• 精确计算：使用线性规划

using Tulip
γ = emd2(μ, ν, C, Tulip.Optimizer())

• 正则化近似：Sinkhorn算法

ε = 0.5  # 正则化参数
s = sinkhorn2(μ, ν, C, ε)

技术要点解析

1. 采样策略：采样点数N需要足够大以保证对连续分布的合理近似，但过大会增加计算负担
2. 成本矩阵：pairwise函数高效计算点对之间的距离，支持多种距离度量
3. 算法选择：精确算法适用于小规模问题，Sinkhorn算法更适合大规模近似计算
4. 正则化参数：ε控制近似精度与计算效率的平衡，需根据实际问题调整

实际应用建议

1. 对于高维问题，建议使用Sinkhorn算法并适当调整ε值
2. 比较不同分布时，应保持采样点数一致
3. 可通过多次采样计算置信区间评估结果稳定性
4. 对于特殊结构的分布（如低维流形上的分布），可考虑使用改进的采样策略

总结

OptimalTransport.jl提供的这套方法避免了传统直方图方法的缺陷，通过直接采样和最优传输理论，实现了连续分布与离散点集之间Wasserstein距离的高效计算。这种方法不仅精度更高，而且更具灵活性，适用于各种机器学习和统计建模场景。

OptimalTransport.jl Optimal transport algorithms for Julia 项目地址: https://gitcode.com/gh_mirrors/op/OptimalTransport.jl