贝叶斯线性回归原理与实现详解
项目地址: https://gitcode.com/gh_mirrors/ba/bayesian-machine-learning 本文深入探讨贝叶斯机器学习中的线性基函数模型，重点讲解贝叶斯线性回归的理论基础和实践应用。我们将从基本原理出发，逐步构建完整的贝叶斯回归框架，并通过Python实现演示其应用。
线性基函数模型概述
线性回归模型的关键特性在于其对参数是线性的，但对输入变量可以是非线性的。通过使用输入变量的非线性基函数，线性模型能够捕捉从输入到目标的任意非线性关系。多项式回归就是这种模型的典型例子。
线性回归模型的一般形式为：
$$ y(\mathbf{x}, \mathbf{w}) = \mathbf{w}^T \boldsymbol\phi(\mathbf{x}) $$
其中$\phi_j$是基函数，$M$是参数总数（包括偏置项$w_0$）。目标变量$t$由确定性函数$y(\mathbf{x}, \mathbf{w})$加上随机噪声$\epsilon$组成：
$$ t = y(\mathbf{x}, \mathbf{w}) + \epsilon $$
我们假设噪声服从均值为零、精度（方差的倒数）为$\beta$的高斯分布。
似然函数与最大似然估计
对于$N$个独立同分布的观测值，联合条件概率（似然函数）可以表示为：
$$ p(\mathbf{t} | \mathbf{w}, \beta) = \prod_{i=1}^{N}\mathcal{N}(t_i | \mathbf{w}^T \boldsymbol\phi(\mathbf{x}_i), \beta^{-1}) $$
最大似然估计可能导致过拟合，特别是当模型复杂度高而数据量有限时。为防止过拟合，通常会在误差函数中加入正则化项。
贝叶斯方法
先验与后验分布
在贝叶斯框架中，我们为模型参数$\mathbf{w}$指定一个先验概率分布。这里使用均值为零的等方向高斯分布：
$$ p(\mathbf{w} | \alpha) = \mathcal{N}(\mathbf{w} | \mathbf{0}, \alpha^{-1}\mathbf{I}) $$
这种先验与似然函数共轭，使得后验分布也是高斯分布。后验分布的均值和协方差矩阵有解析解：
$$ \begin{align*} \mathbf{m}_N &= \beta \mathbf{S}_N \boldsymbol\Phi^T \mathbf{t} \ \mathbf{S}_N^{-1} &= \alpha\mathbf{I} + \beta \boldsymbol\Phi^T \boldsymbol\Phi \end{align*} $$
后验预测分布
预测新数据点$\mathbf{x}$的目标值$t$时，我们使用后验预测分布：
$$ p(t | \mathbf{x}, \mathbf{t}, \alpha, \beta) = \mathcal{N}(t | \mathbf{m}_N^T \boldsymbol\phi(\mathbf{x}), \sigma_N^2(\mathbf{x})) $$
预测方差包含数据固有噪声和参数不确定性两部分。
证据函数
通过边缘似然（证据函数）可以估计$\alpha$和$\beta$的值：
$$ p(\mathbf{t} | \alpha, \beta) = \int p(\mathbf{t} | \mathbf{w}, \beta) p(\mathbf{w} | \alpha) d\mathbf{w} $$
这种方法称为经验贝叶斯，当$\alpha$和$\beta$的后验分布尖锐且先验相对平坦时，这是完全贝叶斯处理的良好近似。
实现细节
后验分布计算
def posterior(Phi, t, alpha, beta, return_inverse=False):
"""计算后验分布的均值和协方差矩阵"""
S_N_inv = alpha * np.eye(Phi.shape[1]) + beta * Phi.T.dot(Phi)
S_N = np.linalg.inv(S_N_inv)
m_N = beta * S_N.dot(Phi.T).dot(t)
if return_inverse:
return m_N, S_N, S_N_inv
else:
return m_N, S_N
后验预测分布计算
def posterior_predictive(Phi_test, m_N, S_N, beta):
"""计算后验预测分布的均值和方差"""
y = Phi_test.dot(m_N)
y_var = 1 / beta + np.sum(Phi_test.dot(S_N) * Phi_test, axis=1)
return y, y_var
示例数据集生成
我们定义了两个函数生成示例数据：
- 线性函数
f：生成带噪声的直线数据 - 正弦函数
g：生成带噪声的正弦曲线数据
def f(X, noise_variance):
'''线性函数加噪声'''
return f_w0 + f_w1 * X + noise(X.shape, noise_variance)
def g(X, noise_variance):
'''正弦函数加噪声'''
return 0.5 + np.sin(2 * np.pi * X) + noise(X.shape, noise_variance)
实际应用与模型比较
贝叶斯方法的一个显著优势是能够直接比较不同复杂度模型的证据函数，无需使用验证集。例如，我们可以比较不同阶数的多项式模型，选择证据值最高的模型，这通常对应于复杂度适中的模型。
通过本文的实现，读者可以深入理解贝叶斯线性回归的工作原理，并将其应用于实际问题中。贝叶斯方法不仅提供了点估计，还给出了预测的不确定性量化，这对于许多实际应用场景至关重要。
创作声明：本文部分内容由AI辅助生成（AIGC），仅供参考
