最小生成树算法终极指南：从Kruskal到Prim的优化之路
项目地址: https://gitcode.com/GitHub_Trending/oi/OI-wiki 你是否在解决图论问题时被复杂的生成树算法困扰？是否想知道如何在稠密图和稀疏图中选择最优实现？本文将带你一文掌握最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）的两大核心算法，通过图解和实战代码，从基础实现到高级优化，让你彻底搞懂Kruskal与Prim算法的适用场景与性能瓶颈。
Kruskal算法：基于并查集的边贪心策略
核心思想与步骤
Kruskal算法通过排序边权值并使用并查集（Disjoint Set Union, DSU） 维护连通性，实现了对稀疏图的高效处理。其核心步骤如下：
- 按边权值升序排序所有边
- 初始化并查集，每个节点自成集合
- 依次遍历边，若连接不同集合则加入生成树并合并集合
- 直至生成树包含n-1条边或遍历完所有边
// 代码来源：docs/graph/code/kruskal.cpp
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
struct Edge { int u, v, w; };
vector<Edge> edges;
vector<int> parent, rank_;
bool compare(const Edge& a, const Edge& b) { return a.w < b.w; }
int find(int x) {
if (parent[x] != x) parent[x] = find(parent[x]); // 路径压缩
return parent[x];
}
void unite(int x, int y) {
x = find(x), y = find(y);
if (x == y) return;
if (rank_[x] < rank_[y]) parent[x] = y; // 按秩合并
else {
parent[y] = x;
if (rank_[x] == rank_[y]) rank_[x]++;
}
}
int kruskal(int n) {
sort(edges.begin(), edges.end(), compare);
parent.resize(n+1); rank_.resize(n+1, 0);
for (int i = 1; i <= n; i++) parent[i] = i;
int res = 0, cnt = 0;
for (auto& e : edges) {
if (find(e.u) != find(e.v)) {
unite(e.u, e.v);
res += e.w;
if (++cnt == n-1) break;
}
}
return cnt == n-1 ? res : -1; // 判断是否连通
}
优化关键：并查集的路径压缩与按秩合并
Kruskal算法的效率瓶颈在于边排序（O(m log m)）和并查集操作。通过路径压缩（将查询路径扁平化）和按秩合并（小集合合并入大集合），可将并查集操作优化至近乎常数时间。优化前后的性能对比：
| 操作 | 普通并查集 | 优化后并查集 |
|---|---|---|
| 单次find | O(log n) | O(α(n)) |
| 单次union | O(log n) | O(α(n)) |
| 整体时间复杂度 | O(m log m + m log n) | O(m log m + m α(n)) |
α(n)为反阿克曼函数，实际应用中可视为常数（n<10^60时α(n)≤5）
Prim算法：基于顶点的贪心扩张策略
核心思想与步骤
Prim算法通过维护已选顶点集和候选边集，逐步扩张生成树，适用于稠密图。标准实现使用邻接矩阵（O(n²)），优化版本采用优先队列（O(m log n)）：
- 任选起始顶点加入生成树
- 将与已选顶点相连的边加入优先队列
- 提取最小权值边，若连接新顶点则加入生成树
- 重复直至生成树包含n-1条边
// 代码来源：docs/graph/code/prim.cpp
#include <queue>
#include <vector>
using namespace std;
const int INF = 1e9;
vector<vector<pair<int, int>>> adj; // adj[u] = {v, w}
vector<int> dist; // 到已选集合的最小距离
vector<bool> in_tree;
int prim(int n) {
dist.assign(n+1, INF);
in_tree.assign(n+1, false);
priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<>> pq;
dist[1] = 0;
pq.emplace(0, 1);
int res = 0, cnt = 0;
while (!pq.empty()) {
auto [d, u] = pq.top(); pq.pop();
if (in_tree[u]) continue;
in_tree[u] = true;
res += d;
if (++cnt == n) break;
for (auto [v, w] : adj[u]) {
if (!in_tree[v] && w < dist[v]) {
dist[v] = w;
pq.emplace(w, v);
}
}
}
return cnt == n ? res : -1;
}
高级优化：斐波那契堆与邻接表
在稠密图中，Prim算法可通过斐波那契堆将优先队列操作优化至O(m + n log n)，但实现复杂度较高。实际应用中，对于顶点数较少的场景（n<1000），可使用索引堆（Index Heap）优化，避免重复元素入队：
// 索引堆优化示意（仅核心部分）
for (auto [v, w] : adj[u]) {
if (!in_tree[v] && w < dist[v]) {
dist[v] = w;
if (heap.contains(v)) heap.decrease_key(v, w);
else heap.insert(v, w);
}
}
算法对比与场景选择
| 指标 | Kruskal算法 | Prim算法（优先队列版） |
|---|---|---|
| 时间复杂度 | O(m log m) | O(m log n) |
| 空间复杂度 | O(m + n)（存储边和并查集） | O(n + m)（邻接表和堆） |
| 适用图类型 | 稀疏图（m≈n） | 稠密图（m≈n²） |
| 实现难度 | 较简单（并查集为核心） | 较复杂（堆操作需小心） |
| 并行化潜力 | 高（边排序可并行） | 低（依赖顶点扩张顺序） |
实际开发建议：当m < n log n时选择Kruskal，否则选择Prim；竞赛中推荐掌握两种实现，根据题目数据范围切换。
实战应用与常见陷阱
典型例题解析
在docs/graph/examples/mst_problem.md中收录了经典例题，如「有线电视网建设」问题：
某地区有n个村庄，要实现村村通电视，已知每两个村庄间的电缆铺设成本，求最小总铺设成本。
该问题可直接套用Kruskal算法，关键在于：
- 处理重边：排序时自动保留最小边
- 处理非连通图：判断生成树边数是否为n-1
- 输出方案：记录选中的边而非仅计算权值和
常见错误与调试技巧
-
并查集初始化错误：忘记初始化parent数组或rank数组
// 错误示例 for (int i = 0; i < n; i++) parent[i] = i; // 顶点编号从1开始时错误 // 正确示例 for (int i = 1; i <= n; i++) parent[i] = i; -
Prim算法起点选择：孤立点导致无法生成树，需在代码中返回-1或其他标记值
-
边权值溢出：使用32位整数时需注意（如1e5条边，每条边权1e9，总和可能超过2e14，需用long long）
总结与进阶资源
最小生成树算法是图论的基础工具，掌握其优化技巧对提升程序性能至关重要。进一步学习建议：
- 进阶算法：次小生成树、增量式MST、动态MST（docs/graph/mst.md）
- 扩展应用：最小瓶颈生成树、斯坦纳树（docs/graph/steiner-tree.md）
- 竞赛专题：docs/contest/roadmap.md中的图论部分
本文代码和图解均来自OI-Wiki项目，完整内容可查阅官方文档。建议结合在线评测系统进行实战训练，巩固算法理解。
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创作声明：本文部分内容由AI辅助生成（AIGC），仅供参考
