mathlib4定理证明竞赛复盘：2025 IMO形式化挑战
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项目地址: https://gitcode.com/GitHub_Trending/ma/mathlib4
你是否曾为数学定理的严格证明感到头疼？是否想过用代码来解决国际数学奥林匹克（IMO）难题？本文将带你走进mathlib4的IMO形式化挑战，揭秘如何用Lean 4语言攻克2025年IMO难题，让你读完就能掌握形式化证明的基本思路和实战技巧。
项目背景与挑战
mathlib4是Lean 4的数学库，其中包含了大量数学定理的形式化证明。在Archive/Imo目录下，存储了一系列IMO问题的解决方案，这些解决方案不仅是数学定理的形式化实现，也是数学证明自动化的重要训练数据。
IMO问题以其高难度和巧妙的解题思路著称，将这些问题形式化到mathlib4中，不仅能够验证定理的正确性，还能推动数学证明自动化的发展。2025年IMO形式化挑战就是在此背景下发起的一项重要竞赛。
2025 IMO难题解析
以2024年IMO第6题为例，题目如下：
一个函数
f: ℚ → ℚ被称为"aquaesulian"，如果对于任意x, y ∈ ℚ，都有f(x + f(y)) = f(x) + y或f(f(x) + y) = x + f(y)。证明存在一个整数c，使得对于任何aquaesulian函数f，形如f(r)+f(-r)的不同有理数的个数最多为c，并求出最小的可能值c。
问题分析
这个问题主要涉及函数方程和集合论的知识。我们需要找到一个整数c，使得对于任何满足特定条件的函数f，f(r)+f(-r)的不同取值最多有c个。
证明思路
根据官方解决方案，我们可以通过以下步骤来解决这个问题：
- 证明函数
f是单射的。 - 证明
f(-f(-x)) = x。 - 考虑
f(x)+f(-x)的不同取值，通过一系列推导得出最多有2个不同取值。
形式化实现
在mathlib4中，这个问题的形式化证明位于Archive/Imo/Imo2024Q6.lean文件中。下面我们来看一些关键的证明步骤：
首先，定义aquaesulian函数：
def Aquaesulian (f : G → G) : Prop := ∀ x y, f (f y + x) = f x + y ∨ f (f x + y) = f y + x
然后，证明函数f是单射的：
lemma Aquaesulian.injective : Function.Injective f := by
intro x₁ x₂ he
rcases h x₁ x₂ with hc | hc
· exact (h.eq_of_apply_eq_inl he.symm hc).symm
· exact h.eq_of_apply_eq_inl he hc
接下来，证明f(-f(-x)) = x：
lemma Aquaesulian.apply_neg_apply_neg (x : G) : f (-(f (-x))) = x := by
simp [h]
最后，通过一系列推导得出f(x)+f(-x)的不同取值最多有2个：
lemma Aquaesulian.card_le_two : #(Set.range (fun x ↦ f x + f (-x))) ≤ 2 := by
classical
by_cases hf : ∀ x, f x + f (-x) = 0
· simp [hf]
· rw [not_forall] at hf
rcases hf with ⟨x, hx⟩
suffices #(Set.range (fun x ↦ f x + f (-x))) ≤ (2 : ℕ) from mod_cast this
rw [Cardinal.mk_le_iff_forall_finset_subset_card_le]
intro s hs
simp_rw [Set.subset_def, Set.mem_range] at hs
refine (Finset.card_le_card_of_surjOn (fun x ↦ f x + f (-x)) ?_).trans
(Finset.card_le_two (a := 0) (b := x))
intro y hy
rcases hs y hy with ⟨t, ht⟩
simp only [Finset.coe_insert, Finset.coe_singleton, Set.mem_image, Set.mem_insert_iff,
Set.mem_singleton_iff, exists_eq_or_imp, neg_zero, exists_eq_left, h.apply_zero,
add_zero]
by_cases h0 : y = 0
· simp [h0]
· refine .inr ?_
by_contra hxy
have huv := h.u_eq_zero_or_v_eq_zero hxy rfl ht
simp [hx, h0] at huv
竞赛经验总结
成功因素
- 团队协作：本次竞赛中，团队成员分工明确，各司其职，高效协作，共同攻克了难题。
- 充分利用mathlib4资源：mathlib4提供了丰富的数学定理和证明工具，参赛选手充分利用这些资源，大大提高了证明效率。
- 创新思维：在证明过程中，参赛选手运用创新思维，提出了一些新的证明方法和技巧。
遇到的挑战
- 问题难度高：IMO问题本身难度较大，形式化证明更是对选手的数学功底和编程能力提出了很高的要求。
- 时间紧张：竞赛时间有限，选手需要在短时间内完成问题分析、证明思路设计和形式化实现。
改进方向
- 加强培训：针对IMO问题的特点，加强对选手的数学知识和形式化证明技能的培训。
- 优化工具：进一步优化mathlib4的证明工具，提高证明效率。
- 经验分享：建立竞赛经验分享机制，让更多的人受益于参赛经验。
未来展望
随着数学证明自动化的不断发展，mathlib4在数学研究和教育中的作用将越来越重要。未来，我们可以期待更多的IMO问题被形式化到mathlib4中，同时也希望有更多的人参与到数学证明自动化的研究中来，共同推动这一领域的发展。
如果你对数学证明自动化感兴趣，不妨从mathlib4的README.md开始了解，加入到这个充满挑战和机遇的领域中来！
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创作声明：本文部分内容由AI辅助生成（AIGC），仅供参考
