gh_mirrors/leet/leetcode项目：零钱兑换算法题解分析-优快云博客

gh_mirrors/leet/leetcode项目：零钱兑换算法题解分析

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问题背景与应用场景

你是否曾在超市收银时遇到找零难题？或者在游戏开发中需要计算虚拟货币的最优兑换方案？零钱兑换问题作为动态规划（Dynamic Programming）领域的经典案例，其核心是找到用最少数量的硬币组合成特定金额的方法。本文将基于gh_mirrors/leet/leetcode项目中的动态规划框架，从零开始构建解决方案，帮你彻底掌握这类问题的解题思路。

动态规划基础框架

动态规划是解决多阶段决策问题的高效方法，其核心思想是将复杂问题分解为重叠子问题，并通过存储中间结果避免重复计算。在C++/chapDynamicProgramming.tex中详细介绍了动态规划的基本原理，包括状态定义、转移方程和边界条件三大要素。

以爬楼梯问题为例，若定义dp[i]为到达第i级台阶的方法数，状态转移方程可表示为：

dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];  // 从i-1级跨1步或i-2级跨2步

这种自底向上的计算方式，正是动态规划的典型特征。

零钱兑换问题分析

问题定义

给定不同面额的硬币coins和一个总金额amount，编写一个函数计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回-1。

状态设计

根据动态规划思想，我们定义：

dp[i]表示凑成金额i所需的最少硬币数

转移方程推导

对于每个金额i，遍历所有硬币面额c：

若i >= c且dp[i-c]存在，则dp[i] = min(dp[i], dp[i-c] + 1)

边界条件

dp[0] = 0（金额0不需要硬币）
其他dp[i]初始化为amount+1（表示不可达状态）

完整实现代码

// 零钱兑换动态规划解法
class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        vector<int> dp(amount + 1, amount + 1);  // 初始化所有值为不可达
        dp[0] = 0;  // 边界条件
        
        for (int i = 1; i <= amount; ++i) {
            for (const int& c : coins) {
                if (i >= c) {
                    dp[i] = min(dp[i], dp[i - c] + 1);
                }
            }
        }
        
        return dp[amount] > amount ? -1 : dp[amount];
    }
};

算法优化与复杂度分析

时间复杂度

O(amount × n)：其中amount为目标金额，n为硬币种类数
嵌套循环结构：外层遍历金额(amount次)，内层遍历硬币种类(n次)

空间复杂度

O(amount)：需要长度为amount+1的dp数组

优化方向

硬币排序：先对硬币排序，当i < c时可提前终止内层循环
贪心优化：在特定条件下（如硬币面额为倍数关系）可结合贪心算法

可视化理解

下图展示了金额从1到11的计算过程（假设硬币面额为[1,2,5]）：

金额: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
硬币数:0 1 1 2 2 1 2 2 3 3 2 3

从图中可以清晰看到，每个金额的最优解都是基于之前金额的最优解计算得出，体现了动态规划的重叠子问题特性。

总结与实践建议

零钱兑换问题展示了动态规划解决最优化问题的典型思路：

定义清晰的状态表示
推导正确的转移方程
设置合理的边界条件
自底向上计算最优解

建议通过leetcode-cpp.pdf中的更多案例练习，逐步培养动态规划思维。当你能熟练运用这种思想解决类似问题时，就真正掌握了算法设计的精髓。

提示：动态规划问题的关键在于找到状态之间的转移关系，多画图分析有助于发现规律。遇到复杂问题时，可以先从小规模实例入手，逐步推导出一般规律。

创作声明：本文部分内容由AI辅助生成（AIGC），仅供参考

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