TheAlgorithms项目解析：深入理解Aliquot Sum（真约数和）及其数学意义-优快云博客

TheAlgorithms项目解析：深入理解Aliquot Sum（真约数和）及其数学意义

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什么是Aliquot Sum？

Aliquot Sum（真约数和）是数论中一个基础但重要的概念，它指的是一个正整数所有真约数（即不包括该数本身的约数）的和。数学表达式为：

$$ s(n) = \sum_{d | n, d \neq n} {d} $$

例如，数字15的真约数是1、3、5，因此它的Aliquot Sum就是1 + 3 + 5 = 9。

Aliquot Sum的数学意义

这个看似简单的概念在数论中有着广泛的应用，它是许多特殊数字分类的基础：

质数：Aliquot Sum为1的数字（因为只有1是其真约数）
亏数：Aliquot Sum小于数字本身的数
盈数：Aliquot Sum大于数字本身的数
完全数：Aliquot Sum等于数字本身的数（如6、28等）
亲和数：两个数互为对方的Aliquot Sum
不可触数：不能表示为任何数Aliquot Sum的数
Aliquot序列：通过反复计算Aliquot Sum生成的数字序列
拟完全数和几乎完全数：特殊类型的数字

关于Aliquot Sum的有趣事实

1是唯一一个Aliquot Sum为0的数字
完全数的Aliquot Sum等于该数本身
对于形如pq的半素数，其Aliquot Sum为p+q+1
著名数学家保罗·埃尔德什曾深入研究过Aliquot Sum函数

计算Aliquot Sum的算法实现

方法一：基础遍历法

最直观的方法是遍历从1到n/2的所有整数，检查是否为n的约数：

def aliquot_sum(n):
    if n == 1:
        return 0
    sum = 1  # 1是所有大于1的数的真约数
    for i in range(2, n//2 + 1):
        if n % i == 0:
            sum += i
    return sum

算法分析：

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(1)

方法二：优化遍历法

我们可以将上限设为√n，进一步优化算法：

def aliquot_sum(n):
    if n == 1:
        return 0
    sum = 1
    sqrt_n = int(n**0.5)
    for i in range(2, sqrt_n + 1):
        if n % i == 0:
            sum += i
            counterpart = n // i
            if counterpart != i and counterpart != n:
                sum += counterpart
    return sum

算法分析：