algorithm-base：股票买卖问题系列动画教程，动态规划的状态定义
项目地址: https://gitcode.com/gh_mirrors/al/algorithm-base 你是否在面对股票买卖类算法题时感到无从下手？是否对动态规划（Dynamic Programming, DP）中的状态定义感到困惑？本文将通过algorithm-base项目中的动画教程，带你一文搞懂股票买卖问题的动态规划解法，掌握状态定义的核心思路。读完本文后，你将能够独立分析并解决各类股票买卖问题，理解动态规划在其中的应用。
动态规划基础
动态规划是解决多阶段决策问题的一种方法，它通过将复杂问题分解为重叠子问题，并存储子问题的解来避免重复计算。在股票买卖问题中，动态规划的关键在于如何定义状态，以及如何确定状态之间的转移关系。
algorithm-base项目的README.md中对动态规划有专门的介绍，虽然目前内容还在完善中，但项目中其他数据结构和算法的动画教程已经展示了其通俗易懂的特点，例如【动画模拟】二分查找详解和【动画模拟】链表详解。
股票买卖问题的状态定义
基本状态
在股票买卖问题中，我们通常需要考虑以下几个因素：
- 当前天数
- 持有股票的状态（持有或未持有）
- 已进行的交易次数
基于这些因素，我们可以定义出基本的状态：
dp[i][k][0]：表示第i天结束时，最多进行k次交易，且未持有股票的最大利润。 dp[i][k][1]：表示第i天结束时，最多进行k次交易，且持有股票的最大利润。
其中，i表示天数，k表示最大交易次数，0和1分别表示未持有和持有股票的状态。
状态转移方程
有了状态定义后，我们需要确定状态之间的转移关系。对于每天的状态，我们可以从前一天的状态推导而来：
-
未持有股票的状态（dp[i][k][0]）可以由两种情况转移而来：
- 前一天未持有股票，今天继续未持有：
dp[i-1][k][0] - 前一天持有股票，今天卖出：
dp[i-1][k][1] + prices[i]
因此，
dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i]) - 前一天未持有股票，今天继续未持有：
-
持有股票的状态（dp[i][k][1]）可以由两种情况转移而来：
- 前一天持有股票，今天继续持有：
dp[i-1][k][1] - 前一天未持有股票，今天买入：
dp[i-1][k-1][0] - prices[i]（买入时交易次数加1）
因此，
dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i]) - 前一天持有股票，今天继续持有：
边界条件
dp[-1][k][0] = 0：第0天之前，未持有股票，利润为0。dp[-1][k][1] = -infinity：第0天之前，不可能持有股票，利润为负无穷。dp[i][0][0] = 0：不允许交易，未持有股票，利润为0。dp[i][0][1] = -infinity：不允许交易，不可能持有股票，利润为负无穷。
不同交易次数限制的情况
情况一：k=1（只能交易一次）
当k=1时，状态转移方程可以简化为：
dp[i][1][0] = max(dp[i-1][1][0], dp[i-1][1][1] + prices[i]) dp[i][1][1] = max(dp[i-1][1][1], dp[i-1][0][0] - prices[i]) = max(dp[i-1][1][1], -prices[i])
因为dp[i-1][0][0]为0，所以dp[i][1][1]的转移方程简化为max(dp[i-1][1][1], -prices[i])。
情况二：k=infinity（可以交易无数次）
当k为无穷大时，交易次数不再是限制因素，因此k可以忽略。状态转移方程变为：
dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i]) dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i])
这种情况可以进一步优化空间复杂度，只使用两个变量来存储前一天的状态。
情况三：k=2（只能交易两次）
当k=2时，我们需要考虑交易次数的限制，状态转移方程与基本情况类似，但需要注意k的取值范围。
动画教程推荐
algorithm-base项目中虽然没有专门的股票买卖问题动画教程，但其他动态规划相关的内容可以帮助你更好地理解状态定义的思想。例如：
- 【动画模拟】前序遍历（迭代）.md)
- 【动画模拟】中序遍历（迭代）
- 【动画模拟】后序遍历（迭代）.md)
这些教程通过生动的动画展示了复杂问题的解决过程，有助于你理解动态规划中状态转移的思路。
总结
动态规划是解决股票买卖问题的有效方法，其核心在于正确定义状态和状态转移方程。通过本文的介绍，你应该已经掌握了股票买卖问题中动态规划的状态定义方法，以及不同交易次数限制情况下的状态转移规律。
algorithm-base项目致力于用动画将算法通俗易懂地呈现出来，如果你想深入学习其他算法知识，可以参考项目中的数据结构和算法部分，其中包含了丰富的动画教程，如【动画模拟】哈希表详解和【动画模拟】栈和队列详解等。
希望本文对你理解股票买卖问题的动态规划解法有所帮助，祝你在算法学习的道路上越走越远！
创作声明：本文部分内容由AI辅助生成（AIGC），仅供参考
