OI Wiki高级主题：后缀数组、李超树与动态树的前沿算法解析
项目地址: https://gitcode.com/GitHub_Trending/oi/OI-wiki 在算法竞赛领域，处理复杂字符串匹配、动态数据维护和树上路径查询等问题时，掌握高级数据结构与算法至关重要。本文将深入解析后缀数组（Suffix Array）、李超树（Li Chao Tree）和动态树分治（Dynamic Tree Divide）三种核心技术，结合OI Wiki开源项目中的实现细节，帮助读者理解其原理与应用场景。
后缀数组：字符串处理的多功能工具
核心定义与构建方法
后缀数组（Suffix Array）是字符串处理的基础工具，用于高效求解最长公共前缀、子串排名等问题。其核心包含两个数组：
- sa数组：
sa[i]表示排序后第i小的后缀起始位置 - rk数组：
rk[i]表示起始位置为i的后缀排名
两者满足互逆关系：sa[rk[i]] = rk[sa[i]] = i。OI Wiki中提供了三种构建方法：
- 暴力排序法（O(n²logn)）：直接比较所有后缀字符串
- 倍增算法（O(nlog²n)）：通过长度倍增的子串排序优化
- SA-IS算法（O(n)）：基于诱导排序的线性时间实现
关键优化与应用
倍增算法的核心在于通过已有子串排名信息构建更长子串的排序，其实现可通过基数排序进一步优化至O(nlogn)。关键代码如下：
for (w = 1; w < n; w <<= 1) {
sort(sa + 1, sa + n + 1, [](int x, int y) {
return rk[x] == rk[y] ? rk[x + w] < rk[y + w] : rk[x] < rk[y];
});
// 更新排名数组（完整实现见docs/string/sa.md）
}
后缀数组的扩展应用包括：
- 最长公共前缀：通过height数组结合RMQ实现O(1)查询
- 不同子串计数：公式为
n(n+1)/2 - sum(height[2..n]) - 重复子串检测：利用height数组的区间最小值特性
实战案例
在「USACO06DEC」Milk Patterns问题中，需查找至少出现k次的最长子串。通过对height数组滑动窗口取最小值，可在O(n)时间内解决：
// 核心逻辑（完整代码见docs/string/code/sa/sa_2.cpp）
int max_len = 0;
deque<int> q;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
while (!q.empty() && height[i] <= height[q.back()]) q.pop_back();
q.push_back(i);
while (q.front() <= i - k + 1) q.pop_front();
if (i >= k - 1) max_len = max(max_len, height[q.front()]);
}
李超树：动态函数维护的利器
问题背景与核心思想
李超树用于解决动态区间插入一次函数并查询给定点最大值的问题，典型应用如平面直角坐标系中的线段覆盖查询。其核心创新在于通过标记永久化和线段树懒标记结合，实现高效的函数插入与查询。
算法原理
- 区间覆盖策略：每个线段树节点维护一个优势函数，当插入新函数时：
- 若新函数在区间中点更优，则交换新旧函数
- 比较区间端点函数值，递归更新可能更优的子区间
- 查询机制：从根节点到叶节点遍历所有包含查询点的区间，比较各节点维护的函数值
关键实现代码如下：
void upd(int root, int cl, int cr, int u) {
int &v = s[root], mid = (cl + cr) >> 1;
int bmid = cmp(calc(u, mid), calc(v, mid));
if (bmid == 1 || (!bmid && u < v)) swap(u, v);
int bl = cmp(calc(u, cl), calc(v, cl));
if (bl == 1 || (!bl && u < v)) upd(root << 1, cl, mid, u);
int br = cmp(calc(u, cr), calc(v, cr));
if (br == 1 || (!br && u < v)) upd(root << 1 | 1, mid + 1, cr, u);
}
应用场景
- 线段覆盖查询：如「HEOI2013」Segment问题，需维护动态线段并查询指定x坐标的最高交点
- 平面几何问题：处理带定义域限制的线性函数最大值查询
- 动态规划优化：维护斜率优化中的线性函数集合
动态树分治：树上路径查询的终极方案
点分树的构建基础
动态树分治基于点分树（Centroid Tree）结构，通过递归选取树的重心作为分治中心，构建深度为O(logn)的分治树。其核心特性是：
- 每个节点代表原树中的一个连通块
- 任意路径在点分树中对应O(logn)个分治中心
动态维护策略
当树中点权或边权发生变化时，通过以下步骤维护路径信息：
- 在点分树上遍历目标节点的所有祖先
- 更新各分治中心维护的路径信息结构
- 通过可删堆、线段树等数据结构维护统计信息
以「ZJOI2007」捉迷藏问题为例，关键实现包括：
// 点分树构建核心代码
void pre(int x) {
vis[x] = true;
for (int j = h[x]; j; j = nxt[j])
if (!vis[p[j]]) {
sum = siz[p[j]];
rt = 0; maxx[rt] = inf;
calcsiz(p[j], -1); calcsiz(rt, -1);
fa[rt] = x;
pre(rt);
}
}
典型应用
- 树上距离统计：如「震波」问题中查询距离不超过k的节点权值和
- 路径最值维护：动态更新节点权值时维护树上最长路径
- 子树信息查询：结合线段树实现复杂的路径约束查询
技术对比与选型指南
| 算法 | 时间复杂度 | 核心优势 | 适用场景 |
|---|---|---|---|
| 后缀数组 | 构建O(nlogn)，查询O(1)~O(logn) | 字符串全局性质分析 | 重复子串、公共前缀问题 |
| 李超树 | 插入O(log²n)，查询O(logn) | 动态函数维护 | 线性函数最值、平面几何 |
| 动态树分治 | 更新O(log²n)，查询O(log²n) | 树结构动态维护 | 树上路径统计、动态连通性 |
学习资源与进阶路径
OI Wiki提供了完整的学习体系，推荐进阶路径：
- 基础强化：
- 字符串基础：docs/string/basic.md
- 线段树应用：docs/ds/seg.md
- 核心训练：
- 综合应用：
- 动态树分治：「NOI2015」品酒大会
- 多技术融合：结合后缀自动机与动态规划的复杂问题
通过这些高级数据结构的学习与实践，竞赛选手可显著提升处理复杂问题的能力。建议结合OI Wiki源码中的示例程序，在实际编程中深化理解。
创作声明：本文部分内容由AI辅助生成（AIGC），仅供参考
