30分钟掌握树链剖分：从路径查询到换根操作的完全指南
项目地址: https://gitcode.com/GitHub_Trending/oi/OI-wiki 你是否还在为树上路径查询问题烦恼？面对"修改两点间路径权值"或"查询子树和"等需求时无从下手？本文将带你系统掌握树链剖分（Heavy-Light Decomposition, HLD）技术，用最直观的方式理解这一处理树上路径问题的强大工具。读完本文后，你将能够独立实现树链剖分算法，解决包括路径修改、子树查询和换根操作在内的复杂树上问题。
什么是树链剖分？
树链剖分是一种将树结构分解为若干条链的预处理技术，通过重链剖分（最常用的树链剖分形式）可以将任意树上路径分解为不超过O(log n)条连续的链，每条链上的DFS序是连续的，从而可以使用线段树等数据结构高效维护路径信息。
如上图所示，树链剖分通过以下定义实现对树的分解：
- 重子结点：子树规模最大的子结点
- 轻子结点：除重子结点外的其他子结点
- 重边：连接结点与其重子结点的边
- 轻边：连接结点与其轻子结点的边
- 重链：由重边连接而成的连续路径
树链剖分的核心价值在于：树上任意路径都可分解为O(log n)条重链，且每条重链的DFS序连续，这为使用线段树等区间数据结构处理树上路径问题提供了可能。
实现树链剖分的两个关键DFS
树链剖分的实现需要两次深度优先搜索（DFS），完整代码实现可参考树链剖分核心代码。
第一次DFS：计算基础信息
void dfs1(int u, int f) {
fa[u] = f, dep[u] = dep[f] + 1, siz[u] = 1;
for (auto v : G[u]) {
if (v == f) continue;
dfs1(v, u);
siz[u] += siz[v];
if (siz[v] > siz[son[u]]) son[u] = v;
}
}
这次DFS主要计算五个数组：
fa[u]：结点u的父结点dep[u]：结点u的深度siz[u]：以u为根的子树大小son[u]：u的重子结点（子树最大的子结点）
第二次DFS：划分重链并分配DFS序
void dfs2(int u, int ftop) {
top[u] = ftop, dfn[u] = ++idx, rnk[idx] = u;
if (son[u]) dfs2(son[u], ftop);
for (auto v : G[u])
if (v != son[u] && v != fa[u]) dfs2(v, v);
}
这次DFS完成三个关键任务：
top[u]：记录u所在重链的顶端结点dfn[u]：分配DFS序（保证重链内连续）rnk[idx]：DFS序到结点的映射
通过这两次DFS，我们就完成了对树的剖分，为后续处理路径问题奠定了基础。
树链剖分的核心应用
路径查询与修改
树链剖分最经典的应用是处理树上两点间路径的查询和修改操作。其核心思想是将路径分解为多条重链，对每条重链使用线段树进行操作。
路径查询的伪代码如下：
function TREE-PATH-SUM(u, v):
tot = 0
while top[u] != top[v]:
if depth[top[u]] < depth[top[v]]:
swap(u, v)
tot += sum(dfn[top[u]] to dfn[u])
u = fa[top[u]]
tot += sum(min(dfn[u], dfn[v]) to max(dfn[u], dfn[v]))
return tot
这个过程中，我们不断将深度较大的链顶端向上跳，直到两个结点位于同一条重链上。每次跳跃处理一段连续的DFS区间，时间复杂度为O(log²n)。
子树查询与修改
由于子树的DFS序是连续的，我们可以通过记录每个结点子树的DFS区间来处理子树操作。具体实现时，只需查询或修改[dfn[u], dfn[u] + siz[u] - 1]区间即可。
最近公共祖先（LCA）查询
树链剖分还可以高效求解LCA问题：
int lca(int u, int v) {
while (top[u] != top[v]) {
if (dep[top[u]] > dep[top[v]])
u = fa[top[u]];
else
v = fa[top[v]];
}
return dep[u] > dep[v] ? v : u;
}
通过不断将较深的链顶端上移，最终两个结点会汇合到同一条重链上，深度较小的结点即为LCA。
高级应用：处理换根操作
当树需要支持换根操作时，子树查询变得复杂。我们需要根据新根与原根的相对位置关系分类讨论：
- 新根就是当前结点：操作对象为整棵树
- 当前结点是新根的祖先：需要排除新根所在的子树
- 其他情况：正常处理子树区间
[dfn[u], dfn[u] + siz[u] - 1]
详细实现可参考带换根操作的树链剖分例题，其中关键是找到新根在原树上的祖先的特定子结点，将子树操作转换为两个区间操作。
长链剖分：另一种剖分方式
除重链剖分外，长链剖分是另一种重要的树剖分技术，它以子树深度而非大小来定义重子结点。长链剖分在优化某些动态规划问题上有奇效，如求解k级祖先问题可达到O(1)查询复杂度，或优化深度相关的DP转移。
长链剖分的典型应用是优化树上深度相关的动态规划，如Codeforces 1009 F. Dominant Indices问题，通过继承重儿子的DP数组实现O(n)时间复杂度的求解。
实战例题与代码实现
ZJOI2008树的统计
这是一道树链剖分的经典模板题，要求支持单点修改、路径最大值查询和路径和查询。完整代码实现见树链剖分模板代码。
LOJ 139. 树链剖分
这道题在基础树链剖分上增加了换根操作，需要处理复杂的子树查询问题。关键是根据新根与原根的位置关系分类讨论，完整代码见带换根操作的树链剖分代码。
练习题推荐
通过这些练习，你将逐步掌握树链剖分的各种应用场景，从基础路径查询到复杂的换根操作和动态规划优化。
总结
树链剖分作为处理树上路径问题的强大工具，通过将树分解为若干重链，成功将复杂的树形结构转化为线性结构，使得线段树等区间数据结构能够应用于树上问题。其核心优势在于：
- 路径分解：任意路径可分解为O(log n)条重链
- 高效查询：每次操作复杂度为O(log²n)
- 灵活扩展：支持路径修改、子树查询、换根等复杂操作
掌握树链剖分技术，将为你解决各类树上问题提供有力武器。建议结合本文提供的代码实现和练习题，亲手实现这一算法，深入理解其原理和应用场景。
希望本文能帮助你彻底掌握树链剖分技术。如有任何疑问，欢迎查阅OI Wiki树链剖分完整文档或参与社区讨论。最后，别忘了点赞收藏本文，以便日后复习！
创作声明：本文部分内容由AI辅助生成（AIGC），仅供参考
