algorithm-base：买卖股票的最佳时机动画教程，动态规划解法
项目地址: https://gitcode.com/gh_mirrors/al/algorithm-base 你还在为动态规划问题感到头疼吗？面对股票买卖类题目时是否总是无从下手？本文将通过动画模拟的方式，用通俗易懂的语言带你彻底搞懂「买卖股票的最佳时机」问题的动态规划解法，读完你将能够：
- 理解股票买卖问题的动态规划状态定义
- 掌握状态转移方程的推导方法
- 学会优化动态规划的空间复杂度
- 解决各种变种的股票买卖问题
问题引入
假设你有一个数组，其中第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。如果你最多只允许完成一笔交易（即买入和卖出一支股票一次），设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。
注意：你不能在买入股票前卖出股票。
示例：
输入: [7,1,5,3,6,4]
输出: 5
解释: 在第 2 天（价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。
动态规划解题思路
状态定义
我们定义两个状态来描述问题：
dp[i][0]：表示第 i 天不持有股票时的最大利润dp[i][1]：表示第 i 天持有股票时的最大利润
状态转移方程
对于 dp[i][0]（不持有股票），有两种情况：
- 第 i-1 天也不持有股票，今天什么都不做
- 第 i-1 天持有股票，今天卖出
所以状态转移方程为：dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i])
对于 dp[i][1]（持有股票），有两种情况：
- 第 i-1 天也持有股票，今天什么都不做
- 第 i 天买入股票
所以状态转移方程为：dp[i][1] = max(dp[i-1][1], -prices[i])
初始状态
dp[0][0] = 0：第 0 天不持有股票，利润为 0dp[0][1] = -prices[0]：第 0 天持有股票，利润为负的买入价格
空间优化
由于每次计算只需要前一天的状态，我们可以使用两个变量来代替二维数组，将空间复杂度从 O(n) 优化到 O(1)：
cash = 0 # 不持有股票的最大利润
hold = -prices[0] # 持有股票的最大利润
for i in range(1, len(prices)):
cash = max(cash, hold + prices[i])
hold = max(hold, -prices[i])
return cash
动画模拟过程
下面通过动画来模拟整个计算过程（假设输入 prices = [7,1,5,3,6,4]）：
第 0 天
- 不持有股票：cash = 0
- 持有股票：hold = -7
第 1 天（价格=1）
- 不持有股票：max(0, -7+1=-6) → 0
- 持有股票：max(-7, -1) → -1
第 2 天（价格=5）
- 不持有股票：max(0, -1+5=4) → 4
- 持有股票：max(-1, -5) → -1
第 3 天（价格=3）
- 不持有股票：max(4, -1+3=2) → 4
- 持有股票：max(-1, -3) → -1
第 4 天（价格=6）
- 不持有股票：max(4, -1+6=5) → 5
- 持有股票：max(-1, -6) → -1
第 5 天（价格=4）
- 不持有股票：max(5, -1+4=3) → 5
- 持有股票：max(-1, -4) → -1
最终结果为 5，与示例一致。
变种问题拓展
允许无限次交易
如果允许进行无限次交易，状态转移方程只需做一点修改： dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i])
完整代码：
cash = 0
hold = -prices[0]
for i in range(1, len(prices)):
new_cash = max(cash, hold + prices[i])
new_hold = max(hold, cash - prices[i])
cash, hold = new_cash, new_hold
return cash
最多允许两次交易
对于最多允许两次交易的情况，我们需要定义四个状态：
dp[i][0]：未进行任何交易dp[i][1]：进行了一次买入dp[i][2]：进行了一次买入和一次卖出dp[i][3]：进行了两次买入和一次卖出dp[i][4]：进行了两次买入和两次卖出
具体实现可以参考项目中的动态规划章节 【动画模拟】动态规划详解
总结
动态规划是解决股票买卖问题的有效方法，其核心在于：
- 定义清晰的状态
- 推导出正确的状态转移方程
- 合理初始化状态
- 必要时进行空间优化
通过本文的学习，你已经掌握了股票买卖问题的动态规划解法。如果想进一步巩固，可以尝试解决以下问题：
希望本文能帮助你更好地理解动态规划思想，在算法学习的道路上更进一步！如果你觉得本文对你有帮助，欢迎点赞、收藏、关注三连，也欢迎在评论区交流讨论。
关于项目
本文内容基于 algorithm-base 项目，这是一个致力于用动画将算法说的通俗易懂的开源项目。项目作者是一位酷爱做饭的程序员，他的面试网站是 www.chengxuchu.com。
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