深入理解Eigen几何模块：从旋转矩阵到四元数

深入理解Eigen几何模块：从旋转矩阵到四元数

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概述

在计算机视觉和机器人学领域，几何变换是最基础也是最重要的概念之一。本文将通过分析gaoxiang12/slambook项目中的eigenGeometry.cpp示例代码，深入讲解如何使用Eigen库进行各种几何变换操作。

Eigen是一个强大的C++模板库，专门用于线性代数运算，其几何模块提供了丰富的功能来处理2D和3D空间中的旋转、平移等变换。

基本旋转表示

旋转矩阵

旋转矩阵是表示旋转最直接的方式。在3D空间中，旋转矩阵是一个3×3的正交矩阵：

Eigen::Matrix3d rotation_matrix = Eigen::Matrix3d::Identity();

这里创建了一个3×3的单位矩阵，表示不进行任何旋转。

旋转向量（轴角表示）

旋转向量是一种紧凑的旋转表示方式，它用一个旋转轴和一个旋转角度来表示旋转：

Eigen::AngleAxisd rotation_vector(M_PI/4, Eigen::Vector3d(0,0,1));

这行代码表示绕Z轴旋转45度（π/4弧度）。旋转向量可以方便地转换为旋转矩阵：

rotation_matrix = rotation_vector.toRotationMatrix();

坐标变换

有了旋转表示后，我们可以用它来变换向量：

Eigen::Vector3d v(1,0,0);
Eigen::Vector3d v_rotated = rotation_vector * v;
// 或者使用旋转矩阵
v_rotated = rotation_matrix * v;

这两种方式都会得到相同的结果，因为它们在数学上是等价的。

欧拉角

欧拉角是一种直观的旋转表示方式，它将旋转分解为绕三个坐标轴的连续旋转：

Eigen::Vector3d euler_angles = rotation_matrix.eulerAngles(2,1,0);

这里的参数(2,1,0)表示ZYX顺序，也就是常见的yaw-pitch-roll顺序。欧拉角虽然直观，但存在万向节死锁问题，不适合用于插值或连续旋转。

刚体变换

刚体变换（欧氏变换）包括旋转和平移，可以用4×4的齐次坐标矩阵表示：

Eigen::Isometry3d T = Eigen::Isometry3d::Identity();
T.rotate(rotation_vector);
T.pretranslate(Eigen::Vector3d(1,3,4));

这里创建了一个变换矩阵，先旋转再平移。使用这个变换矩阵可以同时进行旋转和平移操作：

Eigen::Vector3d v_transformed = T*v;  // 等价于 R*v + t

四元数

四元数是表示旋转的另一种方式，它避免了欧拉角的万向节死锁问题，且计算效率高：

Eigen::Quaterniond q = Eigen::Quaterniond(rotation_vector);

四元数有四个分量，顺序为(x,y,z,w)，其中w是实部，(x,y,z)是虚部。四元数也可以从旋转矩阵构造：

q = Eigen::Quaterniond(rotation_matrix);

使用四元数旋转向量时需要注意数学上的定义：

v_rotated = q*v;  // 数学上是 qvq^{-1}

实际应用建议

1. 选择旋转表示：根据具体需求选择合适的旋转表示方式。旋转矩阵通用但冗余；欧拉角直观但有万向节死锁；四元数紧凑且适合插值。

2. 性能考虑：在需要大量旋转运算时，四元数通常是最佳选择，因为它只需要存储4个数字且运算效率高。

3. 变换组合：当需要组合多个变换时，使用变换矩阵(Isometry3d)最为方便，可以清晰地表示旋转和平移的组合。

4. 精度问题：在长时间运行或多次变换组合后，旋转矩阵可能会失去正交性，需要定期重新正交化。

通过掌握Eigen几何模块的这些基本操作，我们可以在SLAM、机器人运动学、计算机视觉等领域有效地处理各种几何变换问题。这些基础知识对于理解更复杂的算法和系统至关重要。

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