KAN 2.0：新一代Kolmogorov-Arnold网络技术演进
【免费下载链接】pykan Kolmogorov Arnold Networks 
项目地址: https://gitcode.com/GitHub_Trending/pyk/pykan
KAN 2.0作为Kolmogorov-Arnold Networks的演进版本，在初代KAN的基础上进行了多项重要技术改进，显著提升了网络的表达能力、可解释性和实用性。这些改进主要体现在架构设计、训练机制和功能扩展三个核心方面，包括从加法到乘法运算的扩展、训练机制优化、符号化功能的自动化增强、网格优化与动态调整、剪枝与架构优化的协同等。
KAN 2.0相对于初代的技术改进
KAN 2.0作为Kolmogorov-Arnold Networks的演进版本，在初代KAN的基础上进行了多项重要技术改进，显著提升了网络的表达能力、可解释性和实用性。这些改进主要体现在架构设计、训练机制和功能扩展三个核心方面。
架构创新：从加法到乘法运算的扩展
初代KAN基于Kolmogorov-Arnold表示定理，仅支持加法运算和单变量函数的组合。虽然理论上乘法可以通过加法和单变量函数表示（如xy = ((x+y)² - (x-y)²)/4），但这种表示方式缺乏直观性和可解释性。
KAN 2.0引入了显式的乘法运算符，通过MultKAN架构实现了加法节点和乘法节点的混合使用。这种架构改进通过宽度参数的扩展语法来实现：
# 初代KAN：仅加法节点
model = KAN(width=[2,5,1]) # 2输入，5个隐藏加法节点，1输出
# KAN 2.0 MultKAN：混合加法乘法节点
model = KAN(width=[2,[5,2],1]) # 2输入，5个加法节点+2个乘法节点，1输出
这种架构扩展带来了显著的性能提升：
| 特性 | 初代KAN | KAN 2.0 MultKAN |
|---|---|---|
| 运算类型 | 仅加法 | 加法+乘法混合 |
| 表达能力 | 有限 | 显著增强 |
| 可解释性 | 中等 | 高度可解释 |
| 训练效率 | 相对较低 | 大幅提升 |
| 符号提取 | 复杂 | 直接明了 |
训练机制优化：正则化与稀疏性控制
KAN 2.0在训练机制上进行了深度优化，引入了更精细的正则化策略和稀疏性控制：
# 增强的正则化参数配置
model.fit(dataset,
lamb=0.01, # 总体正则化强度
lamb_l1=1.0, # L1稀疏正则化
lamb_entropy=2.0, # 熵正则化
lamb_coef=1.0, # 系数正则化
lamb_coefdiff=0.0) # 系数差异正则化
这种多层次的正则化策略通过以下流程图展示了其协同作用：
符号化功能的自动化增强
KAN 2.0在符号化功能提取方面实现了重大突破，通过自动符号化建议机制显著提升了可解释性：
# 自动符号化功能
lib = ['x', 'x^2', 'x^3', 'x^4', 'exp', 'log', 'sqrt', 'tanh', 'sin', 'abs']
model.auto_symbolic(lib=lib, verbose=1, weight_simple=0.8, r2_threshold=0.0)
该功能通过以下算法流程实现符号函数的自动识别和拟合：
网格优化与动态调整
KAN 2.0引入了智能网格管理系统，能够根据输入数据的分布动态调整样条函数的网格点：
# 网格优化参数
model = KAN(grid=5, # 初始网格点数
k=3, # 样条阶数（三次样条）
grid_eps=0.02, # 网格扩展步长
grid_range=[-1, 1], # 网格范围
update_grid=True, # 启用网格更新
grid_update_num=10) # 网格更新次数
网格优化过程通过以下序列图展示：
剪枝与架构优化的协同
KAN 2.0实现了更精细的剪枝策略，能够根据节点和边的重要性进行自适应剪枝：
# 多层次剪枝策略
model.prune(node_th=1e-2, # 节点剪枝阈值
edge_th=3e-2, # 边剪枝阈值
mode="auto") # 自动模式
# 输入特征剪枝
model.prune_input(threshold=1e-2,
active_inputs=None)
剪枝过程通过以下状态图展示其决策逻辑：
性能对比与实证结果
通过大量实验验证，KAN 2.0在多个维度上相比初代KAN都有显著提升：
| 指标 | 初代KAN | KAN 2.0 | 改进幅度 |
|---|---|---|---|
| 训练速度 | 1.0x | 1.5-2.0x | 50-100% |
| 测试精度 | 基准 | 提升10-100倍 | 显著 |
| 参数效率 | 基准 | 减少30-50% | 显著 |
| 可解释性 | 中等 | 高 | 大幅提升 |
| 符号提取 | 困难 | 自动化 | 革命性 |
这些改进使得KAN 2.0不仅在科学计算和物理建模领域表现出色，在需要高度可解释性的机器学习应用中也展现出巨大潜力。通过乘法算子的引入、训练机制的优化和自动化功能的增强，KAN 2.0真正实现了精度与可解释性的统一，为符号回归和科学发现提供了强有力的工具。
多KAN架构与复杂网络设计
在KAN 2.0架构中，多KAN（MultKAN）设计代表了网络架构的重大突破，它通过引入乘法节点和灵活的拓扑结构，显著提升了网络的表达能力和可解释性。MultKAN不仅继承了传统KAN的优势，更在复杂函数建模和符号公式提取方面展现出卓越性能。
多KAN架构的核心设计理念
MultKAN的核心创新在于将加法节点和乘法节点统一在一个框架内，形成了混合计算架构。这种设计使得网络能够更自然地表达数学运算关系，特别是在处理乘法、除法等非线性运算时表现突出。
网络拓扑结构定义
MultKAN的网络结构通过width参数进行灵活定义，支持多种复杂的拓扑配置：
# 传统KAN结构：仅包含加法节点
traditional_kan = MultKAN(width=[2, 5, 1])
# 混合MultKAN结构：包含加法和乘法节点
hybrid_multikan = MultKAN(width=[2, [5, 2], 1]) # 5个加法节点，2个乘法节点
# 复杂多层MultKAN结构
complex_multikan = MultKAN(width=[[2,0], [3,2], [2,1], [1,0]])
乘法节点与运算多样性
MultKAN支持多种乘法运算配置，通过mult_arity参数控制乘法节点的输入数量：
| 配置类型 | mult_arity值 | 描述 | 适用场景 |
|---|---|---|---|
| 同构乘法 | mult_arity=2 | 所有乘法节点均为二元运算 | 简单乘法关系 |
| 异构乘法 | mult_arity=[[2,3],[4]] | 不同层不同数量的乘法输入 | 复杂函数关系 |
| 混合运算 | 自定义列表 | 每层独立配置乘法节点 | 特殊应用需求 |
# 同构乘法配置：所有乘法节点处理2个输入
homogeneous_multikan = MultKAN(width=[2, [4, 3], 1], mult_arity=2)
# 异构乘法配置：不同层不同乘法配置
heterogeneous_multikan = MultKAN(
width=[[2,0], [3,2], [2,1]],
mult_arity=[[2,3], [4]] # 第一层：2个和3元乘法，第二层：4元乘法
)
前向传播机制
MultKAN的前向传播过程实现了加法流和乘法流的并行计算：
数学表达上，MultKAN的前向传播可以表示为：
$$y = \sum_{i} \alpha_i \cdot f_i(x) + \prod_{j} \beta_j \cdot g_j(x)$$
其中$f_i(x)$为加法分支的激活函数，$g_j(x)$为乘法分支的激活函数。
网络扩展与动态调整
MultKAN提供了丰富的网络扩展接口，支持训练过程中的动态结构调整：
# 深度扩展：增加网络层数
model.expand_depth()
# 宽度扩展：在指定层增加节点
model.expand_width(layer_id=1, n_added_nodes=2, sum_bool=True, mult_arity=2)
# 节点剪枝：移除不重要的节点
model.prune_node(threshold=1e-2)
model.prune_edge(threshold=3e-2)
符号化与可解释性增强
MultKAN的符号化功能是其核心优势，支持自动符号公式提取：
# 自动符号化：识别并固定符号函数
model.auto_symbolic(a_range=(-10, 10), b_range=(-10, 10))
# 手动符号化：指定特定节点的符号函数
model.fix_symbolic(l=0, i=0, j=0, fun_name='sin',
a_range=(-5, 5), b_range=(-5, 5))
# 获取符号公式
symbolic_formula = model.symbolic_formula()
复杂网络设计模式
MultKAN支持多种复杂的网络设计模式，满足不同应用场景的需求：
分层混合模式：在不同网络层采用不同的节点配置，底层使用更多加法节点提取特征，高层使用乘法节点进行复杂运算组合。
自适应拓扑模式：根据训练过程中的重要性评分，动态调整网络结构，移除不重要节点，增加关键区域的节点密度。
多粒度计算模式：在同一网络中同时处理不同粒度的特征，通过加法节点处理局部特征，乘法节点处理全局特征交互。
性能优化与计算效率
MultKAN通过多种技术优化计算效率：
# 启用效率模式：关闭符号计算分支
model.symbolic_enabled = False
# 编译优化：加速前向传播
model.speed(compile=True)
# 缓存机制：重复利用中间计算结果
activations = model.get_act(x) # 获取并缓存激活值
实际应用案例
在科学计算领域，MultKAN已成功应用于多种复杂函数建模：
# 物理定律建模：Lagrangian力学
def lagrangian_function(x):
q, q_dot = x[:, 0], x[:, 1]
return 0.5 * q_dot**2 - 0.5 * q**2
# 创建MultKAN模型学习物理规律
model = MultKAN(width=[2, [4, 2], 1], mult_arity=2)
dataset = create_dataset(lagrangian_function, n_var=2)
model.fit(dataset, steps=100, lamb=0.001)
通过多KAN架构的灵活设计，研究人员能够构建更加精确和可解释的数学模型，为科学发现和工程应用提供强有力的工具支持。MultKAN不仅提升了神经网络的表现能力，更重要的是建立了连接数值计算与符号推理的桥梁，推动了可解释人工智能的发展。
效率优化与计算性能提升
Kolmogorov-Arnold网络（KAN）在2.0版本中针对计算效率进行了重大优化，通过多层次的性能提升策略，显著改善了训练和推理速度。这些优化措施使得KAN在处理复杂科学计算任务时更加高效实用。
计算架构优化
KAN 2.0采用了双分支并行计算架构，将数值计算与符号计算分离，实现了计算资源的智能分配：
动态网格自适应技术
KAN 2.0引入了智能网格管理系统，通过grid_eps参数实现均匀网格与自适应网格之间的平滑插值：
class MultKAN(nn.Module):
def __init__(self, grid_eps=0.02, grid_range=[-1, 1], ...):
self.grid_eps = grid_eps # 网格自适应参数
self.grid_range = grid_range # 网格范围
def update_grid_from_samples(self, x, mode='sample'):
"""基于输入样本动态调整网格分布"""
if self.grid_eps == 1.0:
# 均匀网格
grid = torch.linspace(self.grid_range[0], self.grid_range[1], steps=self.grid+1)
elif self.grid_eps == 0.0:
# 基于样本分位数的自适应网格
quantiles = torch.quantile(x, torch.linspace(0, 1, self.grid+1))
grid = quantiles
else:
# 混合模式：在均匀和自适应之间插值
uniform_grid = torch.linspace(self.grid_range[0], self.grid_range[1], steps=self.grid+1)
adaptive_grid = torch.quantile(x, torch.linspace(0, 1, self.grid+1))
grid = self.grid_eps * uniform_grid + (1 - self.grid_eps) * adaptive_grid
return grid
稀疏初始化与内存优化
KAN 2.0通过稀疏初始化策略减少参数数量，显著降低内存占用：
| 初始化策略 | 参数密度 | 内存占用 | 训练速度 | 适用场景 |
|---|---|---|---|---|
| 密集初始化 | 100% | 高 | 慢 | 小规模网络 |
| 稀疏初始化 | 10-30% | 低 | 快 | 大规模网络 |
| 自适应稀疏 | 动态调整 | 中等 | 中等 | 通用场景 |
def sparse_mask(in_dim, out_dim, sparsity=0.2):
"""生成稀疏掩码矩阵"""
mask = torch.zeros(in_dim, out_dim)
num_nonzero = int(in_dim * out_dim * sparsity)
indices = torch.randperm(in_dim * out_dim)[:num_nonzero]
mask.view(-1)[indices] = 1
return mask
# 在KAN层中应用稀疏初始化
class KANLayer(nn.Module):
def __init__(self, sparse_init=False, ...):
if sparse_init:
self.mask = sparse_mask(in_dim, out_dim)
self.weight.data *= self.mask
批处理与并行计算优化
KAN 2.0针对现代GPU架构进行了深度优化，支持高效的批处理计算：
def B_batch(x, grid, k=0, extend=True, device='cpu'):
"""批量计算B样条基函数 - 向量化实现"""
# 将输入数据扩展到与网格相同的维度
x_expanded = 【免费下载链接】pykan Kolmogorov Arnold Networks 项目地址: https://gitcode.com/GitHub_Trending/pyk/pykan
创作声明：本文部分内容由AI辅助生成（AIGC），仅供参考
