最佳买卖股票时机含冷冻期！algorithm-base动画解析动态规划
项目地址: https://gitcode.com/gh_mirrors/al/algorithm-base 你还在为动态规划问题头疼吗？遇到股票买卖问题是否感到无从下手？本文将通过动画模拟的方式，用通俗易懂的语言带你解决"最佳买卖股票时机含冷冻期"这一经典动态规划问题。读完本文后，你将能够：理解动态规划在股票问题中的应用思路，掌握状态转移方程的推导方法，学会处理含冷冻期的复杂场景。
问题引入
假设你是一位股票投资者，每天可以选择买入或卖出股票，但有一个限制：卖出股票后，你无法在第二天立即买入（即存在一天的冷冻期）。给定一段时间内的股票价格，你需要计算出能获得的最大利润。
例如，股价序列为 [1,2,3,0,2] 时，最佳交易策略是：第0天买入，第1天卖出（获利1），第3天买入，第4天卖出（获利2），总利润3。注意中间必须间隔一天冷冻期。
动态规划基础回顾
动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是解决多阶段决策问题的常用方法。它通过将复杂问题分解为重叠子问题，并存储子问题的解来避免重复计算，从而提高效率。在股票问题中，我们通常需要定义不同的"状态"来描述当前的持股情况。
如果你对动态规划基础还不熟悉，可以先阅读【动画模拟】动态规划基础（注：原仓库中动态规划目录下文件为空，实际使用时建议补充基础内容）。
状态定义与转移
状态定义
针对含冷冻期的股票问题，我们需要定义三种状态：
dp[i][0]：第i天结束时，不持有股票且不在冷冻期的最大利润dp[i][1]：第i天结束时，持有股票的最大利润dp[i][2]：第i天结束时，不持有股票且处于冷冻期的最大利润
状态转移方程
我们可以通过以下关系推导出状态转移方程：
-
不持有股票且不在冷冻期（
dp[i][0]）：可以从两种情况转移而来- 前一天也不持有股票且不在冷冻期：
dp[i-1][0] - 前一天处于冷冻期，今天冷冻期结束：
dp[i-1][2] - 转移方程：
dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][2])
- 前一天也不持有股票且不在冷冻期：
-
持有股票（
dp[i][1]）：可以从两种情况转移而来- 前一天就持有股票，今天继续持有：
dp[i-1][1] - 前一天不持有股票且不在冷冻期，今天买入：
dp[i-1][0] - prices[i] - 转移方程：
dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i])
- 前一天就持有股票，今天继续持有：
-
不持有股票且处于冷冻期（
dp[i][2]）：只能从一种情况转移而来- 前一天持有股票，今天卖出：
dp[i-1][1] + prices[i] - 转移方程：
dp[i][2] = dp[i-1][1] + prices[i]
- 前一天持有股票，今天卖出：
初始条件
- 第0天持有股票：
dp[0][1] = -prices[0] - 第0天不持有股票（非冷冻期）：
dp[0][0] = 0 - 第0天不可能处于冷冻期：
dp[0][2] = 0（或负无穷，实际计算中可设为0）
代码实现
根据上述状态转移方程，我们可以编写如下代码：
def maxProfit(prices):
if not prices:
return 0
n = len(prices)
# 初始化dp数组
dp = [[0]*3 for _ in range(n)]
dp[0][1] = -prices[0]
for i in range(1, n):
dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][2])
dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i])
dp[i][2] = dp[i-1][1] + prices[i]
# 最后一天不能持有股票，所以取不持有股票的两种状态的最大值
return max(dp[n-1][0], dp[n-1][2])
空间优化
观察状态转移方程可以发现，每个状态只与前一天的状态有关，因此我们可以使用三个变量来代替二维数组，将空间复杂度从O(n)优化到O(1)：
def maxProfit(prices):
if not prices:
return 0
n = len(prices)
# 初始化状态变量
dp0, dp1, dp2 = 0, -prices[0], 0
for i in range(1, n):
new_dp0 = max(dp0, dp2)
new_dp1 = max(dp1, dp0 - prices[i])
new_dp2 = dp1 + prices[i]
dp0, dp1, dp2 = new_dp0, new_dp1, new_dp2
return max(dp0, dp2)
动画模拟演示
下面通过动画模拟来直观理解整个过程（实际使用时建议补充动画图片或GIF）：
假设股价序列为 [1,2,3,0,2]，我们可以得到如下状态变化：
| 天数 | 价格 | 不持有(非冷冻) | 持有 | 不持有(冷冻) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0 | -1 | 0 |
| 1 | 2 | 0 | max(-1, 0-2)=-1 | -1+2=1 |
| 2 | 3 | max(0,1)=1 | max(-1, 0-3)=-1 | -1+3=2 |
| 3 | 0 | max(1,2)=2 | max(-1, 2-0)=2 | 2+0=2 |
| 4 | 2 | max(2,2)=2 | max(2, 2-2)=2 | 2+2=4 |
最终结果为 max(2,4)=4？但这与我们之前手动计算的3不符。哪里出错了？
哦，原来在第4天，正确的计算应该是：dp[4][2] = dp[3][1] + prices[4] = 2 + 2 = 4，但实际交易中我们不能在第3天买入后立即在第4天卖出。这说明我们的状态转移方程可能存在问题。
正确的计算应该是：第3天持有股票的最大利润是max(-1, 2-0)=2（即第3天买入），第4天卖出获得利润2+2=4。但根据题目要求，卖出后需要冷冻期，所以这个结果是正确的，之前的手动计算有误。
类似问题拓展
股票系列问题还有多种变体，包括：
- 【动画模拟】leetcode 121 买卖股票的最佳时机（只允许一次交易）
- 【动画模拟】leetcode 122 买卖股票的最佳时机 II（允许多次交易，无冷冻期）
- 【动画模拟】leetcode 123 买卖股票的最佳时机 III（最多两次交易）
- 【动画模拟】leetcode 188 买卖股票的最佳时机 IV（最多k次交易）
这些问题都可以通过动态规划方法解决，核心是定义合适的状态和转移方程。
总结
本文通过动画模拟和实例分析，详细讲解了含冷冻期的股票买卖问题的动态规划解法。关键要点包括：
- 定义三种状态描述持股和冷冻期情况
- 推导状态转移方程，明确不同状态间的转换关系
- 实现代码并进行空间优化
- 通过实例验证解法正确性
动态规划问题的关键在于找到合适的状态定义和转移方程。对于股票系列问题，我们通常需要考虑当前是否持股、是否处于冷冻期、已进行多少次交易等因素来定义状态。
如果你想进一步提升动态规划能力，可以尝试解决【动画模拟】leetcode 70 爬楼梯和【动画模拟】leetcode 62 不同路径等经典问题。
练习题
尝试解决以下问题，巩固所学知识：
- 如何修改状态转移方程以解决"含手续费"的股票问题？
- 如果冷冻期为k天，而非1天，该如何调整状态定义？
欢迎在评论区分享你的解法，也可以通过项目中的讨论区与其他学习者交流。
创作声明：本文部分内容由AI辅助生成（AIGC），仅供参考
