MIT 18.06 线性代数笔记：矩阵空间、秩1矩阵与小世界图解析
项目地址: https://gitcode.com/gh_mirrors/mi/mit-18.06-linalg-notes 矩阵空间的概念与性质
矩阵空间是线性代数中一个重要的概念，它指的是由特定维度的矩阵构成的向量空间。以3×3矩阵为例，我们可以构建一个完整的矩阵空间M。
3×3矩阵空间的基与维度
对于3×3矩阵空间M，它的一组自然基由9个矩阵组成，每个矩阵只有一个位置为1，其余为0。例如：
- 第一行第一列为1的矩阵
- 第一行第二列为1的矩阵
- 以此类推...
这9个矩阵线性无关，且可以线性组合出任何3×3矩阵，因此矩阵空间M的维度dim M=9。
特殊矩阵子空间
在3×3矩阵空间中，存在一些重要的子空间：
- 对称矩阵空间S：满足A=Aᵀ的矩阵，维度为6
- 上三角矩阵空间U：对角线下方全为0的矩阵，维度为6
- 对角矩阵空间D：非对角线元素全为0的矩阵，维度为3
子空间的交与并
对于这些子空间，我们可以研究它们的交与并：
- 并集(S∪U)：包含所有对称或上三角的矩阵，维度为9
- 交集(S∩U)：同时是对称和上三角的矩阵，实际上就是对角矩阵，维度为3
这里有一个重要的维度关系： dim S + dim U = dim(S∪U) + dim(S∩U)
秩1矩阵的特性与应用
秩1矩阵在线性代数中扮演着基础构建块的角色。
秩1矩阵的定义
一个秩为1的矩阵可以表示为两个向量的外积： A = uvᵀ
其中u是列向量，vᵀ是行向量。例如： ⎡1 4 5⎤ ⎡1⎤ ⎣2 8 10⎦ = ⎣2⎦ [1 4 5]
秩1矩阵的性质
- 行空间和列空间都是一维的
- 任何矩阵都可以表示为若干秩1矩阵的和
- 秩r的矩阵至少需要r个秩1矩阵来构建
秩1矩阵的重要性
秩1矩阵就像"积木"一样，可以用来构建更复杂的矩阵。例如，一个5×17的秩4矩阵可以用4个秩1矩阵组合而成。
需要注意的是，固定秩的矩阵集合不构成子空间，因为两个秩4矩阵相加，结果矩阵的秩可能会变化。
微分方程中的向量空间
线性代数在微分方程中有着重要应用。考虑二阶微分方程： y'' + y = 0
解空间的分析
这个微分方程的解空间包含：
- cosx
- sinx
- eⁱˣ
- e⁻ⁱˣ
实际上，解空间可以表示为： y = c₁cosx + c₂sinx
因此解空间的维度为2，{cosx, sinx}和{eⁱˣ, e⁻ⁱˣ}都可以作为基。
子空间与零空间的关系
考虑ℝ⁴中满足v₁+v₂+v₃+v₄=0的所有向量构成的子空间S。
子空间S的性质
- 封闭性：S中向量的线性组合仍在S中
- 可以表示为矩阵A=[1 1 1 1]的零空间
- 因为rank(A)=1，所以dim N(A)=n-r=3
相关四个基本子空间
对于1×4矩阵A=[1 1 1 1]：
- 行空间：1维，基为[1;1;1;1]
- 零空间：3维，基包含三个特定向量
- 列空间：1维，就是ℝ¹本身
- 左零空间：0维，只有零向量
这验证了： dim C(Aᵀ) + dim N(A) = 4 = n dim C(A) + dim N(Aᵀ) = 1 = m
小世界图理论简介
小世界图是图论中的一个重要概念，描述了现实世界中许多网络的特性。
基本概念
- 节点(Node)：代表实体（如人、网站等）
- 边(Edge)：代表节点间的关系（如友谊、链接等）
小世界现象
在社交网络中，研究发现：
- 任意两个人之间通常不超过6步（六度分隔理论）
- 具有高度的局部聚集性和较短的全局路径
数学表示
用邻接矩阵表示图：
- 矩阵元素Aᵢⱼ=1表示节点i和j相连
- Aᵢⱼ=0表示不相连
这种表示使得我们可以用线性代数的方法研究图的性质。
总结
本文从矩阵空间的基本概念出发，探讨了秩1矩阵的特性、微分方程解空间的结构，以及小世界图的数学表示。这些概念展示了线性代数在不同数学领域和实际问题中的广泛应用，是理解更高级数学和工程问题的重要基础。
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